【題目】已知函數(shù)fx)=exlnx+axaR).

1)當(dāng)a=﹣e+1時(shí),求函數(shù)fx)的單調(diào)區(qū)間;

2)當(dāng)a≥﹣1時(shí),求證:fx)>0

【答案】(1)當(dāng)x∈(0,1)時(shí),fx)單調(diào)遞減;當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),fx)單調(diào)遞增(2)證明見解析

【解析】

1)求導(dǎo)得到,根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

2)求導(dǎo)得到判斷hx)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,,使函數(shù)fx)在(0,x0)上單調(diào)遞減,在(x0,+∞)上單調(diào)遞增,代入計(jì)算得到證明.

1fx)=exlnx+(﹣e+1x;令,得x1;

當(dāng)x∈(0,1)時(shí),f′(x)<0,fx)單調(diào)遞減;

當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),f′(x)>0,fx)單調(diào)遞增;

2)證明:當(dāng)a=﹣1時(shí),fx)=exlnxxx0);

,則;

hx)在(0,+∞)上單調(diào)遞增;

,h1)=e20;

,使得,即;

∴函數(shù)fx)在(0x0)上單調(diào)遞減,在(x0,+∞)上單調(diào)遞增;

∴函數(shù)fx)的最小值為;

又函數(shù)是單調(diào)減函數(shù);

fx0)>1+1ln1110,即exlnxx0恒成立;

exxlnx;∴exlnx0;又a≥﹣1x0;∴ax≥﹣x;

fx)=exlnx+axexlnxx0,得證.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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1)求圓的普通方程及其極坐標(biāo)方程;

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(1)求這200名學(xué)生每周閱讀時(shí)間的樣本平均數(shù)和中位數(shù)的值精確到0.01);

(2)為查找影響學(xué)生閱讀時(shí)間的因素,學(xué)校團(tuán)委決定從每周閱讀時(shí)間為,的學(xué)生中抽取9名參加座談會(huì).

(i)你認(rèn)為9個(gè)名額應(yīng)該怎么分配?并說(shuō)明理由;

(ii)座談中發(fā)現(xiàn)9名學(xué)生中理工類專業(yè)的較多.請(qǐng)根據(jù)200名學(xué)生的調(diào)研數(shù)據(jù),填寫下面的列聯(lián)表,并判斷是否有的把握認(rèn)為學(xué)生閱讀時(shí)間不足(每周閱讀時(shí)間不足8.5小時(shí))與“是否理工類專業(yè)”有關(guān)?

閱讀時(shí)間不足8.5小時(shí)

閱讀時(shí)間超過(guò)8.5小時(shí)

理工類專業(yè)

40

60

非理工類專業(yè)

附:).

臨界值表:

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

<>

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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