【題目】已知函數(shù)， .

（1）若時(shí)，求函數(shù)的最小值；

（2）若，證明：函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)；

（3）若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

【答案】（1）最小值；（2）見解析；（3）.

【解析】試題分析：（1）當(dāng)時(shí)， ，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到極值點(diǎn)，然后判斷函數(shù)的單調(diào)性，求解函數(shù)的最小值；

（2）由，得，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上最多有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)， ， ，即可得到結(jié)論；

（3）由（2）知，當(dāng)時(shí)， 在上最多有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)，函數(shù)，得，令，利用的取值，得到函數(shù)在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增，要使函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn)，只需要函數(shù)的極小值，即，進(jìn)而求解實(shí)數(shù)的取值范圍．

試題解析：

（1）當(dāng)時(shí)， ，

所以 .

令，得，當(dāng)時(shí)， ；

當(dāng)時(shí)， ，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)時(shí)， 有最小值.

（2）由，得 ，

所以當(dāng)時(shí)， ，

函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)， 在上最多有一個(gè)零點(diǎn).

因?yàn)楫?dāng)時(shí)， ， ，

所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上有零點(diǎn).

綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn).

（3）由（2）知，當(dāng)時(shí)， 在上最多有一個(gè)零點(diǎn).

因?yàn)?/span>有兩個(gè)零點(diǎn)，所以.

由，得.

令，

因?yàn)?/span>， ，所以在上只有一個(gè)零點(diǎn)，

設(shè)這個(gè)零點(diǎn)為，

當(dāng)時(shí)， ， ；

當(dāng)時(shí)， ， ；

所以函數(shù)在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增.

要使函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn)，只需要函數(shù)的極小值，即.

因?yàn)?/span>，

所以

，

可得，

又因?yàn)?/span>在上是增函數(shù)，且，

所以， ，

由，得 ，

所以，即.

以下驗(yàn)證當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).

當(dāng)時(shí)， ， ，

所以.

因?yàn)?/span> ，且，

所以函數(shù)在上有一個(gè)零點(diǎn).

又因?yàn)?/span> （因）.

且，所以在上有一個(gè)零點(diǎn).

所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)在內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn).

綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù)，則下列命題中正確的個(gè)數(shù)是（ ）

①當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上有最小值；②當(dāng)時(shí)，函數(shù)在是單調(diào)增函數(shù)；③若，則；④方程可能有三個(gè)實(shí)數(shù)根.

A.1B.2C.3D.4

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【題目】已知直線（為參數(shù)），曲線（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)， 軸的正半軸為極軸建立直角坐標(biāo)系.

（1）求曲線的極坐標(biāo)方程，直線的普通方程；

（2）把直線向左平移一個(gè)單位得到直線，設(shè)與曲線的交點(diǎn)為， ， 為曲線上任意一點(diǎn)，求面積的最大值.

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【題目】如圖，四棱錐中， 底面， ， ， ， 為線段上一點(diǎn)， ， 為的中點(diǎn).

（1）證明： 平面；

（2）求二面角的正弦值.

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【題目】如圖所示，在底面是直角梯形的四棱錐中，側(cè)棱底面，，，，，則點(diǎn)到平面的距離為( )

A. B. 2 C. D. 4

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【題目】太極圖是由黑白兩個(gè)魚形紋組成的圖案，太極圖展現(xiàn)了一種相互轉(zhuǎn)化，相互統(tǒng)一的和諧美.定義：能夠?qū)A的周長和面積同時(shí)等分成兩部分的函數(shù)稱為圓的一個(gè)“太極函數(shù)”.下列有關(guān)說法中正確的個(gè)數(shù)是（ ）個(gè)

①對圓的所有非常數(shù)函數(shù)的太極函數(shù)中，一定不能為偶函數(shù)；

②函數(shù)是圓的一個(gè)太極函數(shù)；

③存在圓，使得是圓的太極函數(shù)；

④直線所對應(yīng)的函數(shù)一定是圓的太極函數(shù).

A.B.C.D.

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【題目】如圖，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD為梯形，AD∥BC，CD⊥BC，AD＝2，AB＝BC＝3，PA＝4，M為AD的中點(diǎn)，N為PC上一點(diǎn)，且PC＝3PN.

(1)求證：MN∥平面PAB；

(2)求二面角PANM的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知命題：“，”，命題：“ ，”.若命題“”是真命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）

A. 或 B.

C. D.

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【題目】在某親子游戲結(jié)束時(shí)有一項(xiàng)抽獎(jiǎng)活動(dòng)，抽獎(jiǎng)規(guī)則是：盒子里面共有4個(gè)小球，小球上分別寫有0，1,2,3的數(shù)字，小球除數(shù)字外其它完全相同，每對親子中，家長先從盒子中取出一個(gè)小球，記下數(shù)字后將小球放回，孩子再從盒子中取出一個(gè)小球，記下小球上數(shù)字將小球放回.①若取出的兩個(gè)小球上數(shù)字之積大于4，則獎(jiǎng)勵(lì)飛機(jī)玩具一個(gè)；②若取出的兩個(gè)小球上數(shù)字之積在區(qū)間上，則獎(jiǎng)勵(lì)汽車玩具一個(gè)；③若取出的兩個(gè)小球上數(shù)字之積小于1，則獎(jiǎng)勵(lì)飲料一瓶.

（1）求每對親子獲得飛機(jī)玩具的概率；

（2）試比較每對親子獲得汽車玩具與獲得飲料的概率，哪個(gè)更大？請說明理由.

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