【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知橢圓的離心率為,且過點(diǎn)

1)求橢圓的方程;

2)設(shè)點(diǎn),點(diǎn)軸上,過點(diǎn)的直線交橢圓交于兩點(diǎn).

①若直線的斜率為,且,求點(diǎn)的坐標(biāo);

②設(shè)直線,,的斜率分別為,,是否存在定點(diǎn),使得恒成立?若存在,求出點(diǎn)坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

【答案】1 2)① ②存在,;

【解析】

1)根據(jù)橢圓離心率及過點(diǎn),建立方程組,求解即可(2)①設(shè)直線的方程為:,聯(lián)立橢圓方程,利用弦長公式即可求出m,得到點(diǎn)的坐標(biāo)②直線分斜率為0與不為0兩種情況討論,斜率為0時易得存在,斜率不為0時,聯(lián)立直線與橢圓方程,利用恒成立,可化簡知存在定點(diǎn).

1)∵橢圓的離心率為,且過點(diǎn)

,,

∴橢圓的方程為:

2)設(shè),,

①設(shè)直線的方程為:

,

,解得.

②當(dāng)直線的斜率為0時,,,.

可得,解得,即.

當(dāng)直線的斜率不為0時,設(shè)直線的方程為

.

,

可得,

.

.

,

∴當(dāng)時,上式恒成立,

存在定點(diǎn),使得恒成立.

練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】2018年9月,臺風(fēng)“山竹”在我國多個省市登陸,造成直接經(jīng)濟(jì)損失達(dá)52億元.某青年志愿者組織調(diào)查了某地區(qū)的50個農(nóng)戶在該次臺風(fēng)中造成的直接經(jīng)濟(jì)損失,將收集的數(shù)據(jù)分成五組:,,,,(單位:元),得到如圖所示的頻率分布直方圖.

(1)試根據(jù)頻率分布直方圖估計該地區(qū)每個農(nóng)戶的平均損失(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表);

(2)臺風(fēng)后該青年志愿者與當(dāng)?shù)卣蛏鐣l(fā)出倡議,為該地區(qū)的農(nóng)戶捐款幫扶,現(xiàn)從這50戶并且損失超過4000元的農(nóng)戶中隨機(jī)抽取2戶進(jìn)行重點(diǎn)幫扶,設(shè)抽出損失超過8000元的農(nóng)戶數(shù)為,求的分布列和數(shù)學(xué)期望.

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【題目】某城市的公交公司為了方便市民出行,科學(xué)規(guī)劃車輛投放,在一個人員密集流動地段增設(shè)一個起點(diǎn)站,為了研究車輛發(fā)車間隔時間與乘客等候人數(shù)之間的關(guān)系,經(jīng)過調(diào)查得到如下數(shù)據(jù):

間隔時間(分鐘)

10

11

12

13

14

15

等候人數(shù)(人)

23

25

26

29

28

31

調(diào)查小組先從這6組數(shù)據(jù)中選取4組數(shù)據(jù)求線性回歸方程,再用剩下的2組數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗.檢驗方法如下:先用求得的線性回歸方程計算間隔時間對應(yīng)的等候人數(shù),再求與實際等候人數(shù)的差,若差值的絕對值不超過1,則稱所求方程是恰當(dāng)回歸方程”.

1)若選取的是后面4組數(shù)據(jù),求關(guān)于的線性回歸方程;

2)判斷(1)中的方程是否是恰當(dāng)回歸方程;

3)為了使等候的乘客不超過35人,試用(1)中方程估計間隔時間最多可以設(shè)置為多少(精確到整數(shù))分鐘?

附:對于一組數(shù)據(jù),,,其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為: ,.

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【題目】2017年“十一”期間,高速公路車輛較多.某調(diào)查公司在一服務(wù)區(qū)從七座以下小型汽車中按進(jìn)服務(wù)區(qū)的先后每間隔50輛就抽取一輛的抽樣方法抽取40名駕駛員進(jìn)行詢問調(diào)查,將他們在某段高速公路的車速()分成六段: , , , ,后得到如圖的頻率分布直方圖.

(1)求這40輛小型車輛車速的眾數(shù)和中位數(shù)的估計值;

(2)若從車速在的車輛中任抽取2輛,求車速在的車輛恰有一輛的概率.

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