Question

已知過A（1，a）作函數(shù)y=x²ⁿ⁺¹（n∈N^*）圖象的切線有三條，則實數(shù)a的取值范圍為

 

．

Answer 1

分析：設切點為（s，t），則t=s²ⁿ⁺¹，y′=f'（s）=（2n+1）s²ⁿ．可得切線方程為y-s²ⁿ⁺¹=（2n+1）s²ⁿ（x-s），
由于切線過點A（1，a），可得a-s²ⁿ⁺¹=（2n+1）s²ⁿ（1-s），化為a=（2n+1）s²ⁿ-2ns²ⁿ⁺¹，
令f（s）=（2n+1）s²ⁿ-2ns²ⁿ⁺¹．過A（1，a）作函數(shù)y=x²ⁿ⁺¹（n∈N^*）圖象的切線有三條，?y=a與函數(shù)f（s）的圖象有三個交點．
解得f（s）_極小值＜a＜f（s）_極大值即可．

解答：解：y′=f'（x）=（2n+1）x²ⁿ．
設切點為（s，t），則t=s²ⁿ⁺¹，f'（s）=（2n+1）s²ⁿ．
∴切線方程為y-s²ⁿ⁺¹=（2n+1）s²ⁿ（x-s），
∵切線過點A（1，a），∴a-s²ⁿ⁺¹=（2n+1）s²ⁿ（1-s），
化為a=（2n+1）s²ⁿ-2ns²ⁿ⁺¹，
令f（s）=（2n+1）s²ⁿ-2ns²ⁿ⁺¹，
則f′（s）=2n（2n+1）s^2n-1（1-s）．
由f′（s）＞0，解得0＜s＜1，此時函數(shù)f（s）單調遞增；
由f′（s）＜0，解得1＜s或s＜0，此時函數(shù)f（s）單調遞減．
由此可知：當s=0時，函數(shù)f（s）取得極小值；
當s=1時，函數(shù)f（s）取得極大值．
∵過A（1，a）作函數(shù)y=x²ⁿ⁺¹（n∈N^*）圖象的切線有三條，?y=a與函數(shù)f（s）的圖象有三個交點．
∴f（0）＜a＜f（1），解得0＜a＜1．
故答案為：（0，1）．

點評：本題考查了曲線的切線方程、函數(shù)零點與函數(shù)圖象交點的個數(shù)之間的關系等基礎知識與基本技能方法，屬于難題．