【題目】定義域為的函數(shù)滿足:,且對于任意實數(shù),恒有,當時,.
(1)求的值,并證明當時,;
(2)判斷函數(shù)在上的單調(diào)性并加以證明;
(3)若不等式對任意恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)見解析;(2)見解析;(3)或
【解析】分析:(1)賦值:令,,可得,令,設(shè),則,,因為,,所以.(2)單調(diào)性證明根據(jù)定義證明即可:設(shè),則,,,由(1)知,,所以,即,(3)結(jié)合(2)的單調(diào)性可得只需解,對任意恒成立即可.
詳解:
(1)由已知,對于任意實數(shù),恒有,
令,,可得,
因為當時,,所以,故.
令,設(shè),則,,
因為,,所以.
(2)設(shè),則,,
,
由(1)知,,所以,即,
所以函數(shù)在上為減函數(shù).
(3)由得
所以
即,
上式等價于對任意恒成立,
因為,所以
所以對任意恒成立,
設(shè),(時取等),
所以,
解得或.
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【題目】已知拋物線 的頂點在原點 ,對稱軸是 軸,且過點 .
(Ⅰ)求拋物線 的方程;
(Ⅱ)已知斜率為 的直線 交 軸于點 ,且與曲線 相切于點 ,點 在曲線 上,且直線 軸, 關(guān)于點 的對稱點為 ,判斷點 是否共線,并說明理由.
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【題目】已知命題p:實數(shù)x滿足 ,其中 ;和命題q:實數(shù)x滿足 .
(1)若a=1且p∧q為真,求實數(shù)x的取值范圍;
(2)若-p是-q的充分不必要條件,求實數(shù)a的取值范圍.
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【題目】某廠家舉行大型的促銷活動,經(jīng)測算某產(chǎn)品當促銷費用為x萬元時,銷售量t萬件滿足t=5- (其中0 x a,a為正常數(shù)),現(xiàn)假定生產(chǎn)量與銷售量相等,已知生產(chǎn)該產(chǎn)品t萬件還需投入成本(10+2t)萬元(不含促銷費用),產(chǎn)品的銷售價格定為5+ 萬元/萬件.
(1)將該產(chǎn)品的利潤y萬元表示為促銷費用x萬元的函數(shù);
(2)促銷費用投入多少萬元時,廠家的利潤最大.
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【題目】如圖,在直角坐標系xoy中,其中A(0,0),B(2,0),C(1,1),D(0,1),圖中圓弧所在圓的圓心為點C,半徑為 ,且點P在圖中陰影部分(包括邊界)運動.若 ,其中 ,則 的取值范圍是( )
A.[2,3+ ]
B.[2,3+ ]
C.[3- , 3+ ]
D.[3- , 3+ ]
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【題目】已知函數(shù)f(x)=
(1)若對 ,f(x) 恒成立,求a的取值范圍;
(2)已知常數(shù)a R,解關(guān)于x的不等式f(x) .
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【題目】下列命題:
①“四邊相等的四邊形是正方形”的否命題;
②“梯形不是平行四邊形”的逆否命題;
③“若 ,則 ”的逆命題.
其中真命題是.
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【題目】已知△ABC的角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,設(shè)向量=(a,b),=(sin B,sin A), =(b-2,a-2).
(1)若∥,求證:△ABC為等腰三角形;
(2)若⊥,邊長c=2,∠C=,求△ABC的面積.
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