Question

如圖，在矩形ABCD中，AB=1，AD=a，PA⊥平面ABCD，且PA=1．

(1)在BC邊上是否存在點(diǎn)Q，使PQ⊥QD，說(shuō)明理由；

(2)若BC邊上有且僅有一個(gè)點(diǎn)Q，使PQ⊥QD，求AD與平面PDQ所成角的大��；

(3)在(2)的條件下，求平面PQD與平面PAB所成角的大�。�

Answer 1

答案：
解析：

(1)若使PQ⊥DQ，又PQ在平面ABCD的射影為AQ，即使DQ⊥AQ．故當(dāng)以AD為直徑的圓與BC相交，即a>2時(shí)，在BC邊存在兩點(diǎn)Q，使PQ⊥Q D．當(dāng)以AD為直徑的圓與BC相切，即a=2時(shí)，在BC邊存在一點(diǎn)Q，使PQ⊥Q D．當(dāng)以AD為直徑的圓與BC相離，即0<a<2時(shí)，在BC邊不存在點(diǎn)Q，使PQ⊥QD； (2)由(1)知此時(shí)a=2，易得DQ⊥平面PAQ． ∴平面PAQ⊥平面PDQ． 過(guò)A作AF⊥PQ于F，連DF． 則AF⊥平面PDQ，∠ADF為AD與平面PDQ所成角， 在Rt△PAQ中， PA=1，，， ∴． 在Rt△AFD中， ． ∴AD與平面PDQ所成角為； (3)易知△PDQ在平面PAB內(nèi)的射影為△PAB，設(shè)平面PDQ與平面PAB所成的二面角為Q， 則． ∴所求二面角為．