Question

設(shè)函數(shù)f（x）=a^x+b^x-c^x，其中a，b，c為三角形的三邊，且c為最大邊，現(xiàn)有三個命題：
①?x∈（-∞，1），f（x）＞0；
②?x∈R，a^x，b^x，c^x均能構(gòu)成一個三角形的三條邊長；
③若△ABC為鈍角三角形，則?x∈（1，2），使f（x）=0．
其中的真命題為

 

（寫出所有真命題的序號）．

Answer 1

考點：指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：①利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)以a．b．c構(gòu)成三角形的條件進行證明；
②舉反例進行判斷是否正確；
③利用函數(shù)零點的存在性定理進行判斷．

解答： 解：①∵a，b，c是△ABC的三條邊長，∴a+b＞c，
∵c為最大邊，∴c＞a＞0，c＞b＞0，
∴0＜

a

c

＜1，0＜

b

c

＜1
當(dāng)x∈（-∞，1）時，
f（x）=a^x+b^x-c^x
=c^x•[(

a

c

)x+(

b

c

)x-1]＞c^x•[

a

c

+

b

c

-1]=c^x•

a+b-c

c

＞0，
∴①正確．
②令a=2，b=3，c=4，則a．b．c可以構(gòu)成三角形，
但a²=4，b²=9，c²=16不能構(gòu)成三角形，
∴②錯誤．
③∵c＞a＞0，c＞b＞0，
若△ABC為鈍角三角形，則a²+b²-c²＜0，
∵f（1）=a+b-c＞0，f（2）=a²+b²-c²＜0，
∴根據(jù)根的存在性定理知在區(qū)間（1，2）上存在零點，
即?x∈（1，2），使f（x）=0，
∴③正確．
故答案為：①③．

點評：本題考查了函數(shù)零點的存在性定理和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)以及余弦定理的應(yīng)用問題，是綜合題．