已知橢C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的焦點為F1，F(xiàn)2，P是橢圓上任意一點，若以坐標原點為圓心，橢圓短軸長為直徑的圓經(jīng)過橢圓的焦點，且△PF1F2的周長為4+2
2
．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線的l是圓O：x2+y2=
4
3
上動點P（x0，y0）（x0-y0≠0）處的切線，l與橢圓C交于不同的兩點Q，R，證明：∠QOR的大小為定值．
分析：（Ⅰ）根據(jù)以坐標原點為圓心，橢圓短軸長為直徑的圓經(jīng)過橢圓的焦點，可得b=c，利用△PF1F2的周長為4+2
2
，可得a+c=2+
2
，從而可求橢圓的幾何量，進而可得橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線的l方程與橢圓方程聯(lián)立，記Q（x1，y1），R（x2，y2），利用韋達定理，確定x1x2+y1y2=0，即可證得結(jié)論．
解答：（Ⅰ）解：因為以坐標原點為圓心，橢圓短軸長為直徑的圓經(jīng)過橢圓的焦點，所以b=c，可得a=
2
c，
又因為△PF1F2的周長為4+2
2
，所以a+c=2+
2
，所以c=
2
，
所以a=2，b=
2
，所以所求橢圓C的方程為
x2
4
+
y2
2
=1．   　　　　　   …（5分）
（Ⅱ）證明：直線的l方程為x0x+y0y=
4
3
，且x02+y02=
4
3
，記Q（x1，y1），R（x2，y2），
聯(lián)立方程
x2
4
+
y2
2
=1
x0x+y0y=
4
3
，消去y得（
y
2
0
+2
x
2
0
）x2-
16
3
x0x+
32
9
-4
y
2
0
=0，
∴x1+x2=
16
3
x0
y
2
0
+2
x
2
0
，x1x2=
32
9
-4
y
2
0
y
2
0
+2
x
2
0
，…（8分）
∴y1y2=
1
y
2
0
(
4
3
-x0x1)(
4
3
-x0x2)=
16
9
-4
x
2
0
y
2
0
+2
x
2
0
，…（10分）
∴x1x2+y1y2=
32
9
-4
y
2
0
y
2
0
+2
x
2
0
+
16
9
-4
x
2
0
y
2
0
+2
x
2
0
=0
∴∠QOR=90°為定值．                                            …（13分）
點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達定理的運用，考查學生的計算能力，正確運用韋達定理是關(guān)鍵．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
1
2
，橢圓的短軸端點與雙曲線
y2
2
-x2=1的焦點重合，過P（4，0）且不垂直于x軸直線l與橢圓C相交于A、B兩點．
（Ⅰ）求橢C的方程；
（Ⅱ）求
OA
•
OB
的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•崇明縣二模）已知橢C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），以橢圓短軸的一個頂點B與兩個焦點F1，F(xiàn)2為頂點的三角形周長是4+2
3
，且∠BF1F2=
π
6
．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）若過點Q（1，
1
2
）引曲線C的弦AB恰好被點Q平分，求弦AB所在的直線方程．

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科目：高中數(shù)學 來源：崇明縣二模 題型：解答題

已知橢C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），以橢圓短軸的一個頂點B與兩個焦點F1，F(xiàn)2為頂點的三角形周長是4+2
3
，且∠BF1F2=
π
6
．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）若過點Q（1，
1
2
）引曲線C的弦AB恰好被點Q平分，求弦AB所在的直線方程．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的焦點為F1，F(xiàn)2，P是橢圓上任意一點，若以坐標原點為圓心，橢圓短軸長為直徑的圓經(jīng)過橢圓的焦點，且△PF1F2的周長為4+2
2
．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線的l是圓O：x2+y2=
4
3
上動點P（x0，y0）（x0-y0≠0）處的切線，l與橢圓C交于不同的兩點Q，R，證明：∠QOR的大小為定值．

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