Question

（22）設(shè)數(shù)列｛a_n｝滿足a_n＋1＝a_n²－na_n＋1，n＝1，2，3，…，

（Ⅰ）當(dāng)a₁＝2時(shí)，求a₂，a₃，a₄，并由此猜想出a_n的一個(gè)通項(xiàng)公式；

（Ⅱ）當(dāng)a₁≥3時(shí)，證明對(duì)所有的n≥1，有

（�。�a_n≥n＋2；

（ⅱ）…＋≤.

Answer 1

（22）本小題主要考查數(shù)列和不等式等知識(shí)，考查猜想、歸納、推理以及分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.

解：

（Ⅰ）由a₁＝2，得a₂＝a₁²－a₁＋1＝3，

由a₂＝3，得a₃＝a₂²－2a₂＋1＝4，

由a₃＝4，得a₄＝a₃²－3a₃＋1＝５.

由此猜想a_n的一個(gè)通項(xiàng)公式：a_n＝n＋1（n≥1）.　　　　　　　

 

（Ⅱ）（�。┯脭�(shù)學(xué)歸納法證明：

①當(dāng)n＝1，a₁≥3＝1＋2，不等式成立.　　　　　　　　　　

②假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)不等式成立，即a_k≥k＋2，那么，

a_k＋1＝a_k（a_k－k）＋1≥（k＋2）（k＋2－k）＋1≥k＋3，

也就是說(shuō)，當(dāng)n＝k＋1時(shí)a_k＋1≥（k＋1）＋2.

根據(jù)①和②，對(duì)于所有n≥1，有a_n≥n＋2.　　　　　　　　　

（ⅱ）由a_n＋1＝a_n（a_n－n）＋1及（i），對(duì)k≥2，有

a_k＝a_k－1（a_k－1－k＋1）＋1≥a_k－1（k－1＋2－k＋1）＋1＝2a_k－1＋1，

……

∴a_k≥2^k－1a₁＋2^k－2＋…＋2＋1＝2^k－1（a₁＋1）－1.　　　　　　

于是≤，k≥2.

≤=≤≤=.