Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，若且a_n+2S_n•S_n-1=0（n≥2）．
（Ⅰ）求證是等差數(shù)列，并求出a_n的表達(dá)式；
（Ⅱ） 若b_n=2（1-n）a_n（n≥2），求證b₂²+b₃²+…+b_n²＜1．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根據(jù)等差數(shù)列的基本性質(zhì)結(jié)合題中已知條件，便可求出為定值，即可證明是等差數(shù)列，然后分別討論當(dāng)n=1和n≥2時a_n的表達(dá)式即可；
（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）中求得的an的表達(dá)式求出bn的表達(dá)式，然后證明b₂²+b₃²+…+b_n²＜1即可．
解答：解：（I）證明：當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1
又a_n+2S_nS_n-1=0
∴S_n-S_n-1+2S_nS_n-1=0（n≥2），
若S_n=0，則a_n=0，
∴a₁=0與a₁=矛盾
∴S_n≠0，S_n-1≠0．
∴+2=0即=2，
又=2．
∴{}是首項為2，公差為2的等差數(shù)列
由（I）知數(shù)列{}是等差數(shù)列．
∴=2+（n-1）•2=2n即S_n=
∴當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=，
又當(dāng)n=1時，S₁=a₁=，
∴a_n=，
（Ⅱ）證明：由（I）知b_n=2（1-n）•（n≥2）
∴b₂²+b₃²+…+b_n²=＜
=
=1-＜1
點(diǎn)評：本題考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的基本公式以及數(shù)列的遞推公式，考查了學(xué)生的計算能力和對數(shù)列的綜合掌握，解題時注意整體思想和轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用，屬于中檔題．