已知奇函數(shù)y=f(x)的定義域為(-∞,+∞),且滿足條件:①當x>0時,f(x)<0;②對于任意實數(shù)x、y都有f(x+y)=f(x)+f(y).
(1)根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義,證明y=f(x)是減函數(shù);
(2)若x>0時不等式f(ax-2)+f(x-x2)>0恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.
(1)證明:設(shè)-∞<x1<x2<+∞,則x2-x1>0.由條件①,有f(x2-x1)<0. ∵f(x)是奇函數(shù),∴-f(x1)=f(-x1). 由條件②,有f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1). ∴f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1)<0. ∴f(x2)<f(x1). ∴f(x)在定義域上是減函數(shù). (2)解:由條件②,令x=y(tǒng)=0,則有 f(0+0)=f(0)+f(0),∴f(0)=0. 對x>0時不等式f(ax-2)+f(x-x2)>0恒成立即是 f(ax-2+x-x2)>0=f(0)恒成立. 又∵f(x)是減函數(shù),∴ax-2+x-x2<0在x>0時恒成立. ∴ax<x2+2-x(x>0) ∴a<x+-1對于x>0恒成立. ∴a應小于函數(shù)y=x+-1(x>0)的最小值. 而y=x+-1≥-1=-1,當x=時取得最小值. ∴a<-1. ∴a的取值范圍為(-∞,-1). |
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
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科目:高中數(shù)學 來源:2012-2013學年廣西桂林十八中高三(上)第二次月考數(shù)學試卷(文科)(解析版) 題型:選擇題
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科目:高中數(shù)學 來源:2012-2013學年廣西桂林十八中高三(上)第二次月考數(shù)學試卷(文科)(解析版) 題型:選擇題
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