已知數(shù)列滿足.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)對(duì)任意給定的,是否存在()使成等差數(shù)列?若存在,用分別表示和(只要寫出一組);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;(3)證明:存在無(wú)窮多個(gè)三邊成等比數(shù)列且互不相似的三角形,其邊長(zhǎng)為.
【解】(1)當(dāng)時(shí),;
當(dāng)時(shí),,
所以;
綜上所述,. ……………………3分
(2)當(dāng)時(shí),若存在p,r使成等差數(shù)列,則,
因?yàn)?sub>,所以,與數(shù)列為正數(shù)相矛盾,因此,當(dāng)時(shí)不存在; ……5分
當(dāng)時(shí),設(shè),則,所以,………………7分
令,得,此時(shí),,
所以,,
所以;
綜上所述,當(dāng)時(shí),不存在p,r;當(dāng)時(shí),存在滿足題設(shè).
……………………10分
(3)作如下構(gòu)造:,其中,
它們依次為數(shù)列中的第項(xiàng),第項(xiàng),第項(xiàng), ……12分
顯然它們成等比數(shù)列,且,,所以它們能組成三角形.
由的任意性,這樣的三角形有無(wú)窮多個(gè). ……………………14分
下面用反證法證明其中任意兩個(gè)三角形和不相似:
若三角形和相似,且,則,
整理得,所以,這與條件相矛盾,
因此,任意兩個(gè)三角形不相似.
故命題成立. ……………………16分
【注】1.第(2)小題當(dāng)ak不是質(zhì)數(shù)時(shí),p,r的解不唯一;
2. 第(3)小題構(gòu)造的依據(jù)如下:不妨設(shè),且符合題意,則公比>1,因,又,則,所以,因?yàn)槿?xiàng)均為整數(shù),所以為內(nèi)的既約分?jǐn)?shù)且含平方數(shù)因子,經(jīng)驗(yàn)證,僅含或時(shí)不合,所以;
3.第(3)小題的構(gòu)造形式不唯一.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
(08年福建師大附中模擬)(12分)
已知數(shù)列滿足且
(1)求,的值;
(2)若數(shù)列為等差數(shù)列,請(qǐng)求出實(shí)數(shù);
(3)求數(shù)列的通項(xiàng)及前項(xiàng)和.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2014屆陜西省高二上學(xué)期期末考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
已知數(shù)列滿足:
(1)求證:數(shù)列為等比數(shù)列;
(2)求證:數(shù)列為遞增數(shù)列;
(3)若當(dāng)且僅當(dāng)的取值范圍。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2010-2011學(xué)年江蘇省南通市高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)試題 題型:解答題
已知數(shù)列滿足.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)對(duì)任意給定的,是否存在()使成等差數(shù)列?若存
在,用分別表示和(只要寫出一組);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(3)證明:存在無(wú)窮多個(gè)三邊成等比數(shù)列且互不相似的三角形,其邊長(zhǎng)為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2010年湖北省高二12月月考數(shù)學(xué)試卷 題型:解答題
已知數(shù)列滿足a1=1,an+1>an,且(an+1-an)2-2(an+1+an)+1=0
(1)求a2、a3
(2)猜想的表達(dá)式,并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2010年江蘇省高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)(理) 題型:解答題
(14分)已知數(shù)列滿足,
(1)求。(2)由(1)猜想的通項(xiàng)公式。(3)用數(shù)學(xué)歸納法證明(2)的結(jié)果。[來(lái)源:學(xué)#科#網(wǎng)]
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