Question

下列說(shuō)法中：
①若f（x）=ax²+（2a+b）x+2（其中x∈[2a-1，a+4]）是偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)b=2；
②f（x）=

2013-x2

+

x2-2013

既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)；
③已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，若當(dāng)x∈[0，+∞）時(shí)，f（x）=x（1+x），則當(dāng)x∈R時(shí)，f（x）=x（1+|x|）；
④已知f（x）是定義在R上的不恒為零的函數(shù)，且對(duì)任意的x，y∈R都滿足f（x•y）=x•f（y）+y•f（x），則f（x）是奇函數(shù)．其中正確說(shuō)法的序號(hào)是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用,抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：①由f（x）x∈[2a-1，a+4]是偶函數(shù)，則定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，再由f（-x）=f（x）求解；
②將函數(shù)化簡(jiǎn)得：f（x）=0，x∈R，結(jié)論可知；
③設(shè)x＜0，由-x＞0，代入x∈[0，+∞]時(shí)，f（x）=x（1+x），再由f（x）是奇函數(shù)求解；
④通過(guò)賦值法，求得相應(yīng)函數(shù)值，來(lái)尋求f（-x）與f（x）關(guān)系．

解答： 解：①由于f（x）=ax²+（2a+b）x+2（其中x∈[2a-1，a+4]）是偶函數(shù)，
則

2a+b=0 2a-1=-(a+4)

，解得

a=-1 b=2

，
則實(shí)數(shù)b=2，故①正確；
②f（x）=

2013-x2

+

x2-2013

，
由

2013-x2≥0 x2-2013≥0

得x=2013，
∴f（x）=0，x∈R，既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)，故②正確；
③設(shè)x＜0則-x＞0
∵當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=x（x+1），∴f（-x）=（-x）（1-x）
由函數(shù)f（x）為奇函數(shù)可得f（-x）=-f（x），∴-f（x）=（-x）（1-x）
即f（x）=x（1-x），x＜0
∵f（0）=0適合f（x）=x（x+1），x＞0，
∴f（x）=x（1+|x|），故③正確；
④令x=y=0，得f（0）=0
再令x=1，y=-1，得f（-1）=f（-1）-f（1）
∴f（1）=0
再令x=y=-1，得f（1）=-f（1）-f（-1）
∴f（-1）=0
再令y=-1
得f（-x）=xf（-1）-f（x）
則，f（-x）=-f（x）
∴f（x）是奇函數(shù)．故④正確．
故答案為：①②③④．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的奇偶性的判斷及其應(yīng)用，涉及到定義，要注意關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，涉及到求解析式，要注意求哪區(qū)間上的解析式，要在哪個(gè)區(qū)間上設(shè)變量．