Question

已知函數(shù)，
（1）若函數(shù)f（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)，求正實數(shù)a的取值范圍；
（2）a=1時，求f（x）在上的最大值和最小值；
（3）a=1時，求證：對大于1的正整數(shù)n，．

Answer 1

【答案】分析：（1）若函數(shù)f（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)，則[1，+∞）是函數(shù)增區(qū)間的子區(qū)間，求函數(shù)的導數(shù)，令導數(shù)大于0，求出函數(shù)的單調增區(qū)間，再讓[1，+∞）的區(qū)間端點與函數(shù)增區(qū)間的區(qū)間端點比較即可．
（2）a=1時，求f（x）的導數(shù)，再令導數(shù)等于0，得到的x的值為函數(shù)的極值點，在借助函數(shù)在的單調性，判斷函數(shù)當x為何值時有最大值，何時有最小值．
（3）借助（2）中判斷的函數(shù)在的單調性，把證明轉化為比較函數(shù)值大小的問題．
解答：解：（1）由已知：，
依題意：對x∈[1，+∞）成立，
∴ax-1≥0，對x∈[1，+∞）恒成立，即，對x∈[1，+∞）恒成立，
∴，即a≥1．             
（2）當a=1時，，
若，則f'（x）＜0，
若x∈（1，2]，則f'（x）＞0，
故x=1是函數(shù)f（x）在區(qū)間上唯一的極小值點，也就是最小值點，
故f（x）_min=f（1）=0．                 
又，
∵e³＞2.7³=19.683＞16，
∴，∴，
∴f（x）在上最大值是=1-ln2，
∴f（x）在最大1-ln2，最小0．       
（3）當a=1時，由（1）知，在[1，+∞）是增函數(shù)．
當n＞1時，令，則x＞1，∴f（x）＞f（1）=0，
即，
即．
點評：本題主要考查導函數(shù)與原函數(shù)的單調性，極值之間的關系，即當導函數(shù)大于0時原函數(shù)單調遞增，當導函數(shù)小于0時原函數(shù)單調遞減．導函數(shù)等于于0時為極值點．