Question

半徑為的圓C的圓心C在射線y=-2x（x≤0）上，且截y軸所得的弦長(zhǎng)為1．
（1）求圓C的方程．
（2）設(shè)P為圓C上一動(dòng)點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求△PCO的重心G的軌跡方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)題意，假設(shè)圓心的坐標(biāo)，利用點(diǎn)線距離，垂徑定理及勾股定理，求弦長(zhǎng)，故可求圓C的方程；
（2）設(shè)G（x，y），P（x，y），由重心坐標(biāo)公式有：，利用點(diǎn)P在圓C上，可得方程．
解答：解：（1）因圓心C在射線y=-2x（x≤0）上，故設(shè)圓心為C（a，-2a）（a≤0），又該圓截y軸所得的弦長(zhǎng)為1，
故由垂徑定理及勾股定理知，圓心到y(tǒng)軸的距離為，
即|a|=1，所以a=-1，從而圓C的方程為．
（2）設(shè)G（x，y），P（x，y），由重心坐標(biāo)公式有：，又點(diǎn)P在圓C上，
故，
所以有．
又P、C、O為三角形的三頂點(diǎn)，
故點(diǎn)P在不直線y=-2x上，從而點(diǎn)G也不在直線y=-2x上，由
所以△PCO的重心G的軌跡方程為（去除兩點(diǎn)）．
點(diǎn)評(píng)：本題的考點(diǎn)是圓的方程的綜合應(yīng)用，主要考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查代入法求軌跡方程，關(guān)鍵是尋找動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系．