Question

如圖，橢圓的左頂點(diǎn)、右焦點(diǎn)分別為A，F(xiàn)，直線l的方程為x=9，N為l上一點(diǎn)，且在x軸的上方，AN與橢圓交于M點(diǎn)
（1）若M是AN的中點(diǎn)，求證：MA⊥MF．
（2）過A，F(xiàn)，N三點(diǎn)的圓與y軸交于P，Q兩點(diǎn)，求|PQ|的范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）欲證MA⊥MF，只需證明，分別求出，的坐標(biāo)，再用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算計(jì)算即可．
（2）欲求|PQ|的范圍，需先將|PQ|用某個(gè)參數(shù)表示，再求最值，可先找到圓心坐標(biāo)和半徑，再利用圓中半徑，半弦，弦心距組成的直角三角形，得到用參數(shù)表示的|PQ|，再用均值不等式求范圍．
解答：解：（1）由題意得A（-6，0），F(xiàn)（4，0），x_N=9∴
又M點(diǎn)在橢圓上，且在x軸上方，得

（2）設(shè)N（9，t），其中t＞0，∵圓過A，F(xiàn)，N三點(diǎn)，
∴設(shè)該圓的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，有
解得 
∴圓心為，半徑r=
∴，
∵t＞0∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“=”
∴，∴|PQ|的取值范圍是
點(diǎn)評：本題考查了橢圓與圓之間的關(guān)系，其中圓中弦長的求法必須掌握．