Question

設(shè)函數(shù)F（x）=e^x+sinx-ax．
（1）若x=0是F（x）的極值點(diǎn)，求a的值；
（2）若x≥0時(shí)，函數(shù)y=F（x）的圖象恒不在y=F（-x）的圖象下方，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）函數(shù)F（x）=e^x+sinx-ax的導(dǎo)函數(shù)F′（x）=e^x+cosx-a
∵x=0是F（x）的極值點(diǎn)，∴F′（0）=1+1-a=0
解得a=2
又當(dāng)a=2時(shí)，
x＜0時(shí)，F(xiàn)′（x）=e^x+cosx-2＜0，x＞0時(shí)F′（x）=e^x+cosx-2＞0
∴x=0是F（x）的極小值點(diǎn)
∴a=2
（2）令φ（x）=F（x）-F（-x）=e^x-e^-x+2sinx-2ax
則φ′（x）=e^x+e^-x+2cosx-2a
令S（x）=φ′′（x）=e^x-e^-x-2sinx
∵S′（x）=e^x+e^-x-2cosx≥0當(dāng)x≥0時(shí)恒成立
∴函數(shù)S（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增
∴S（x）≥S（0）=0當(dāng)x≥0時(shí)恒成立
∴函數(shù)φ′（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，
∴φ′（x）≥φ′（0）=4-2a當(dāng)x≥0時(shí)恒成立
當(dāng)a≤2時(shí)，φ′（x）≥0，函數(shù)φ（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，即φ（x）≥φ（0）=0
故a≤2時(shí)，F(xiàn)（x）≥F（-x）恒成立
當(dāng)a＞2時(shí)，φ′（0）＜0，又∵φ′（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增
∴總存在x₀∈（0，+∞），使得在區(qū)間[0，x₀）上φ′（x）＜0，導(dǎo)致φ（x）在[0，x₀）上遞減，而φ（0）=0
∴當(dāng)x∈（0，x₀）時(shí)，φ（x）＜0，這與題意不符，∴a＞2不合題意
綜上，a的取值范圍是（-∞，2]
分析：（1）先利用導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)四則運(yùn)算計(jì)算函數(shù)F（x）的導(dǎo)函數(shù)F′（x），再利用函數(shù)極值的意義，令F′（0）=0即可解得a的值
（2）若x≥0時(shí)，函數(shù)y=F（x）的圖象恒不在y=F（-x）的圖象下方，即φ（x）=F（x）-F（-x）≥0在[0，+∞）上恒成立，考慮到φ（0）=0，故通過(guò)討論函數(shù)φ（x）的單調(diào)性可得a的范圍
點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了導(dǎo)數(shù)運(yùn)算，導(dǎo)數(shù)與函數(shù)極值間的關(guān)系，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)而解決不等式恒成立問(wèn)題，分類(lèi)討論的思想方法