Question

已知α為第二象限角，cos

α

2

+sin

α

2

=-

5

2

，求sin

α

2

-cos

α

2

和sin2α+cos2α的值．

Answer 1

分析：本題考查的知識(shí)是同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用，及倍角公式，由已知中知α為第二象限角，且cos

α

2

+sin

α

2

=-

5

2

，平方后，我們易得sinα值，進(jìn)而也可給出cosα，利用平方差公式，即可求出sin

α

2

-cos

α

2

，利用倍角公式即可求出sin2α+cos2α的值

解答：解：由cos

α

2

+sin

α

2

=-

5

2

平方得
1+2sin

α

2

cos

α

2

=

5

4

，
即sinα=

1

4

，cosα=-

15

4

．
此時(shí)kπ+

π

4

＜

α

2

＜kπ+

π

2

．
∵cos

α

2

+sin

α

2

=-

5

2

＜0，
sin

α

2

cos

α

2

=

1

8

＞0，
∴cos

α

2

＜0，sin

α

2

＜0．
∴

α

2

為第三象限角．
∴2kπ+

5π

4

＜

α

2

＜2kπ+

3π

2

，k∈Z．
∴sin

α

2

＜cos

α

2

，
即sin

α

2

-cos

α

2

＜0．
∴sin

α

2

-cos

α

2

=-

1-sinα

=-

3

2

，
sin2α+cos2α=2sinαcosα+1-2sin²α=

7- 15

8

．

點(diǎn)評(píng)：三角函數(shù)給值求值問題的關(guān)鍵就是分析已知角與未知角的關(guān)系，然后通過角的關(guān)系，選擇恰當(dāng)?shù)墓�式，即：如果角與角相等，則使用同角三角函數(shù)關(guān)系；如果角與角之間的和或差是直角的整數(shù)倍，則使用誘導(dǎo)公式；如果角與角之間存在和差關(guān)系，則我們用和差角公式；如果角與角存在倍數(shù)關(guān)系，則使用倍角公式．由三角函數(shù)值判斷

α

2

的范圍是關(guān)鍵．