Question

已知公差不為0的等差數(shù)列{a_n}，a₁＝1，且a₂，a₄－2，a₆成等比數(shù)列．

(1)求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；

(2)已知數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式是b_n＝2^n－1，集合A＝{a₁，a₂，…，a_n，…}，B＝{b₁，b₂，b₃，…，b_n，…}．將集合A∩B中的元素按從小到大的順序排成一個(gè)新的數(shù)列{c_n}，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和S_n.

Answer 1

解析：　(1)設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d.

由題意(a₄－2)²＝a₂a₆得(3d－1)²＝(1＋d)(1＋5d)．

解得d＝3或者d＝0.因?yàn)楣��?i>d不為0，所以d＝3.

故a_n＝3n－2.

(2)由題意知數(shù)列{c_n}是數(shù)列{a_n}與數(shù)列{b_n}的公共項(xiàng)，令2^n－1＝3m－2，

則2ⁿ＝2·2^n－1＝6m－4＝3(2m－1)－1不是數(shù)列{c_n}的項(xiàng)，2^n＋1＝2^n－1·2²＝12m－8＝3(4m－2)－2是數(shù)列{c_n}的項(xiàng)．

所以{c_n}是以a₁＝b₁＝1為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列，即

c_n＝4^n－1，

故S_n＝.