Question

【題目】已知橢圓的方程為，長軸是短軸的倍，且橢圓過點(diǎn)，斜率為的直線過點(diǎn)，坐標(biāo)平面上的點(diǎn)滿足到直線的距離為定值.

（1）寫出橢圓方程；

（2）若橢圓上恰好存在個這樣的點(diǎn)，求的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）由長軸長和短軸長關(guān)系、橢圓上點(diǎn)的坐標(biāo)和橢圓的關(guān)系可構(gòu)造方程組求得，進(jìn)而得到橢圓方程；

（2）將問題轉(zhuǎn)化為與直線的距離為的兩條平行線與橢圓恰有三個交點(diǎn)；假設(shè)平行直線方程為，與橢圓方程聯(lián)立確定，由和平行直線間距離公式得到關(guān)于的方程，可求得的值；代回驗證得到恰有三個交點(diǎn)的情況，由此得到結(jié)果.

（1）由題意可知：，解得：

橢圓方程為：

（2）由題意可知，與直線的距離為的兩條平行線與橢圓恰有三個交點(diǎn)

直線的方程為 可設(shè)與直線平行的直線方程為：

聯(lián)立方程得：

…①

當(dāng)時，…②

由兩平行線間的距離為，可得：…③

將②代入③得：，解得：或

⑴當(dāng)時，代入②得：，代回③得：或

當(dāng)，時，由①知，此時兩平行線和與橢圓只有一個交點(diǎn)，不符合題意

⑵當(dāng)時，代入②得：，代回③得：或

當(dāng)，時，由①知，此時兩平行線和與橢圓有三個交點(diǎn)