Question

設(shè)圓x²+y²=1的切線(xiàn)l與x軸的正半軸，y軸的正半軸分別交于點(diǎn)A，B，當(dāng)|AB|取最小值時(shí)，切線(xiàn)l的為    ．

Answer 1

【答案】分析：設(shè)出A與B的坐標(biāo)，根據(jù)題意表示出切線(xiàn)l的截距式方程，并利用兩點(diǎn)間的距離公式表示出|AB|，由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程找出圓心坐標(biāo)及半徑r，根據(jù)直線(xiàn)與圓相切時(shí)，圓心到切線(xiàn)的距離等于圓的半徑，利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式列出關(guān)系式，整理后得到+=1，可將|AB|²表示為（a²+b²）（+），去括號(hào)化簡(jiǎn)后根據(jù)基本不等式可得出|AB|取得最小值時(shí)a與b的值，即可確定出此時(shí)切線(xiàn)l的方程．
解答：解：設(shè)A（a，0），B（0，b），a＞0，b＞0，
則切線(xiàn)l的方程為+=1，|AB|=，
由圓的方程x²+y²=1，得到圓心坐標(biāo)為（0，0），半徑r=1，
∴圓心到切線(xiàn)l的距離d=r，即=1，
變形得：+=1，
則|AB|²=（a²+b²）（+）=2++≥4，
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=時(shí)，上式取等號(hào)，故|AB|_min=2，
此時(shí)切線(xiàn)l的方程為x+y-=0．
故答案為：x+y-=0
點(diǎn)評(píng)：此題考查了圓的切線(xiàn)方程，涉及的知識(shí)有：直線(xiàn)的截距式方程，兩點(diǎn)間的距離公式，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及基本不等式的運(yùn)用，當(dāng)直線(xiàn)與圓相切時(shí)，圓心到切線(xiàn)的距離等于圓的半徑，熟練掌握此性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．