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已知f(x)=
x+ax2+(b-1)x+1
是定義在[-1,b]上的奇函數.
(Ⅰ)求a,b的值;
(Ⅱ)用單調性定義證明:f(x)在[-1,b]上為單調遞增函數.
分析:(Ⅰ)利用f(x)=
x+a
x2+(b-1)x+1
是定義在[-1,b]上的奇函數,結合奇函數的定義,可得結論;
(Ⅱ)按照函數單調性的證題步驟,關鍵是作差變形.
解答:(Ⅰ)解:∵f(x)=
x+a
x2+(b-1)x+1
是定義在[-1,b]上的奇函數,
∴b=1,且
-x+a
x2-(b-1)x+1
=-
x+a
x2+(b-1)x+1

∴b=1,a=0;
(Ⅱ)證明:由(Ⅰ)知f(x)=
x
x2+1

設x1,x2∈[-1,1],且x1<x2,則f(x1)-f(x2)=
x1
x12+1
-
x2
x22+1
=
(x1-x2)(1-x1x2)
(x12+1)(x22+1)

∵x1,x2∈[-1,1],且x1<x2,∴
(x1-x2)(1-x1x2)
(x12+1)(x22+1)
<0,
f(x1)<f(x2),
∴f(x)在[-1,1]上為單調遞增函數.
點評:本題考查函數的單調性與奇偶性,考查單調性的證明,正確運用函數單調性的證明步驟是關鍵.
練習冊系列答案
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科目:高中數學 來源: 題型:

(2013•深圳一模)已知f(x)=x-
a
x
(a>0)
,g(x)=2lnx+bx,且直線y=2x-2與曲線y=g(x)相切.
(1)若對[1,+∞)內的一切實數x,不等式f(x)≥g(x)恒成立,求實數a的取值范圍;
(2)當a=1時,求最大的正整數k,使得對[e,3](e=2.71828…是自然對數的底數)內的任意k個實數x1,x2,…,xk都有f(x1)+f(x2)+…+f(xk-1)≤16g(xk)成立;
(3)求證:
n
i=1
4i
4i2-1
>ln(2n+1)(n∈N*)

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科目:高中數學 來源: 題型:解答題

已知f(x)是定義在R上的奇函數,當x≥0時,f(x)=x2-kx3.(k≥0)
(Ⅰ)求g(x)的解析式;
(Ⅱ)討論函數f(x)在區(qū)間(-∞,0)上的單調性;
(Ⅲ)若數學公式,設g(x)是函數f(x)在區(qū)間[0,+∞)上的導函數,問是否存在實數a,滿足a>1并且使g(x)在區(qū)間數學公式上的值域為數學公式,若存在,求出a的值;若不存在,請說明理由.

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知f(x)=(x-a)(x-b)-2的兩個零點分別為α、β.則(    )

A.a<α<b<β                             B.α<a<b<β

C.a<α<β<b                             D.α<a<β<b

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知f(x)=(x-a)(x-b)-2(a<b),且α、β是方程f(x)=0的兩根(α<β),則實數a、b、α、β的Z小關系為(    )

A.α<a<b<β                         B.α<a<β<b

C.a<α<b<β                         D.a<α<β<b

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科目:高中數學 來源:2011年高三數學第一輪基礎知識訓練(20)(解析版) 題型:解答題

已知f(x)是定義在R上的奇函數,當x≥0時,f(x)=x2-kx3.(k≥0)
(Ⅰ)求g(x)的解析式;
(Ⅱ)討論函數f(x)在區(qū)間(-∞,0)上的單調性;
(Ⅲ)若,設g(x)是函數f(x)在區(qū)間[0,+∞)上的導函數,問是否存在實數a,滿足a>1并且使g(x)在區(qū)間上的值域為,若存在,求出a的值;若不存在,請說明理由.

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