Question

5．設(shè)橢圓$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{5}$=1的左焦點(diǎn)為F，右頂點(diǎn)為A，點(diǎn)P在橢圓上，若FP⊥PA，則直線PF的斜率可以是（　　）

• A． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• C． 1
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 先求出A、F的坐標(biāo)，設(shè)出P的坐標(biāo)，求出的坐標(biāo)，由題意可得方程組，解方程組求得點(diǎn)P的坐標(biāo)．然后求解斜率．

解答 解：由已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{5}$=1的左焦點(diǎn)為F（-2，0），右頂點(diǎn)為A（3，0），設(shè)點(diǎn)P（x，y），則$\overrightarrow{PA}$=（3-x，-y），$\overrightarrow{FP}$=（x+2，y）．
由已知FP⊥PA，可得$\left\{\begin{array}{l}{（3-x）（x+2）+y（-y）=0}\\{\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{5}=1}\end{array}\right.$，4x²-9x-9=0，解得x=3，或x=-$\frac{3}{4}$．
由題意x=-$\frac{3}{4}$，于是y=±$\frac{5\sqrt{3}}{4}$．∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是（-$\frac{3}{4}$，±$\frac{5\sqrt{3}}{4}$）．
直線PF的斜率：$\frac{±\frac{5\sqrt{3}}{4}}{-\frac{3}{4}+2}$=$±\sqrt{3}$．
故選：D．

點(diǎn)評 本題考查橢圓的簡單性質(zhì)和點(diǎn)到直線的距離公式，兩個(gè)向量垂直的性質(zhì)，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，是解題的難點(diǎn)．