Question

6．若a＞0，b＞0，則$\frac{a+b}{2}$叫做a，b的算術(shù)平均數(shù)，$\sqrt{ab}$叫做a，b的幾何平均數(shù)，且$\frac{a+b}{2}$≥$\sqrt{ab}$（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立）．
（1）若a＞0，b＞0，求證：a+$\frac{1}{a}$≥2；
（2）若x＞0，求2x+$\frac{1}{x}$的最小值；
（3）若0＜x＜1，求x（1-x）的最大值．

Answer 1

分析 由基本不等式求最值的規(guī)則，逐個(gè)解決即可．

解答 解：（1）∵a＞0，b＞0，∴a+$\frac{1}{a}$≥2$\sqrt{a•\frac{1}{a}}$=2，
當(dāng)且僅當(dāng)a=$\frac{1}{a}$即a=1時(shí)取等號(hào)，故a+$\frac{1}{a}$≥2；
（2）∵x＞0，∴2x+$\frac{1}{x}$≥2$\sqrt{2x•\frac{1}{x}}$=2$\sqrt{2}$，
當(dāng)且僅當(dāng)2x=$\frac{1}{x}$即x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$時(shí)取等號(hào)，
故2x+$\frac{1}{x}$的最小值為2$\sqrt{2}$；
（3）∵0＜x＜1，∴0＜1-x＜1
∴x（1-x）≤$（\frac{x+1-x}{2}）^{2}$=$\frac{1}{4}$，
當(dāng)且僅當(dāng)x=1-x即x=$\frac{1}{2}$時(shí)取等號(hào)，
∴x（1-x）的最大值為$\frac{1}{4}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查基本不等式求最值，注意等號(hào)成立的條件是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題．