Question

橢圓C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在y軸上，離心率e=，橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的最短距離為1-，直線l與y軸交于點(diǎn)P（0，m），與橢圓C交于相異兩點(diǎn)A、B，且．
（1）求橢圓方程；
（2）若，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)C：（a＞b＞0），由條件知a-c=，=，由此能導(dǎo)出C的方程．
（2）由，，知λ=3或O點(diǎn)與P點(diǎn)重合．當(dāng)O點(diǎn)與P點(diǎn)重合時(shí)，m=0．當(dāng)λ=3時(shí)，直線l與y軸相交，設(shè)l與橢圓C交點(diǎn)為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），得（k²+2）x²+2kmx+（m²-1）=0，再由根的判別式和韋達(dá)定理進(jìn)行求解．
解答：解：（1）設(shè)C：（a＞b＞0），設(shè)c＞0，c²=a²-b²，由條件知a-c=，=，
∴a=1，b=c=，故C的方程為：y²+=1．
（2）由，
∴λ+1=4，λ=3或O點(diǎn)與P點(diǎn)重合，
當(dāng)O點(diǎn)與P點(diǎn)重合時(shí)，m=0
當(dāng)λ=3時(shí)，直線l與y軸相交，則斜率存在．
設(shè)l與橢圓C交點(diǎn)為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
得（k²+2）x²+2kmx+（m²-1）=0
△=（2km）²-4（k²+2）（m²-1）=4（k²-2m²+2）＞0 （*）
x₁+x₂=，x₁x₂=                          
∵=3，
∴-x₁=3x₂
∴，
消去x₂，得3（x₁+x₂）²+4x₁x₂=0，
∴3（）²+4=0
整理得4k²m²+2m²-k²-2=0                          
m²=時(shí)，上式不成立；
m²≠時(shí)，k²=，
因λ=3，∴k≠0，∴k²=＞0，
∴-1＜m＜- 或 ＜m＜1
容易驗(yàn)證k²＞2m²-2成立，所以（*）成立
即所求m的取值范圍為（-1，-）∪（，1）∪{0}
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法和求m的取值范圍．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，靈活運(yùn)用橢圓的性質(zhì)，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．