Question

已知四邊形ABCD是等腰梯形，AB=3，DC=1，∠BAD=45°，DE⊥AB（如圖1）．現(xiàn)將△ADE沿DE折起，使得AE⊥EB（如圖2），連接AC，AB，設(shè)M是AB的中點．
（1）求證：BC⊥平面AEC；
（2）判斷直線EM是否平行于平面ACD，并說明理由．

Answer 1

（1）證明：在圖1中，過C作CF⊥EB
∵DE⊥EB，∴四邊形CDEF是矩形，
∵CD=1，∴EF=1．
∵四邊形ABCD是等腰梯形，AB=3，∴AE=BF=1．
∵∠BAD=45°，∴DE=CF=1．
連接CE，則CE=CB=

2

，
∵EB=2，∴∠BCE=90°，
∴BC⊥CE．                                                                                     
在圖2中，∵AE⊥EB，AE⊥ED，EB∩ED=E，
∴AE⊥平面BCDE．
∵BC?平面BCDE，∴AE⊥BC．                                                      
∵AE∩CE=E，∴BC⊥平面AEC．                                                     
（2）用反證法．假設(shè)EM∥平面ACD．                          
∵EB∥CD，CD平面ACD，EB平面ACD，
∴EB∥平面ACD．∵EB∩EM=E，∴面AEB∥面ACD                         
而A∈平面AEB，A∈平面ACD，與平面AEB∥平面ACD矛盾．
∴假設(shè)不成立，∴EM與平面ACD不平行．