Question

如圖所示：m個(gè)實(shí)數(shù)a₁，a₂，…，a_m，（m≥3，m∈N）依次按順時(shí)針方向圍成一個(gè)圓圈．
（1）當(dāng)m=2014時(shí)，若a₁=1，a_n+1=a_n+2ⁿ（n∈N^*且n＜m），a₁+a₂+…+a_m的值；
（2）設(shè)圓圈上按順時(shí)針方向任意相鄰的三個(gè)數(shù)a_p，a_q，a_i均滿足：a_q=λa_p+（1-λ）a_i（λ＞0），求證：a₁=a₂=…=a_m．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的應(yīng)用

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）a_n+1=a_n+2ⁿ，可得a_n+1-a_n=2ⁿ，累加可得a_n=2ⁿ-1，即可求出a₁+a₂+…+a_m的值；
（2）由a_q=λa_p+（1-λ）a_i（λ＞0），得λ（a_p-a_q）=（1-λ）（a_i-a_q），當(dāng)λ=1時(shí)，a₁=a₂=…=a_m成立．當(dāng)λ≠1時(shí)，a_i-a_q=

λ

1-λ

（a_q-a_p），由此利用分類討論思想能夠證明a₁=a₂=…=a_m．

解答： （1）解：∵a_n+1=a_n+2ⁿ，∴a_n+1-a_n=2ⁿ，
累加可得a_n=2ⁿ-1，
當(dāng)m=2014時(shí)，a₁+a₂+…+a_m=（2+4+…+2²⁰¹⁴）-2014=2²⁰¹⁵-2016；
（2）證明：∵a_q=λa_p+（1-λ）a_i（λ＞0），
∴λ（a_p-a_q）=（1-λ）（a_i-a_q），
當(dāng)λ=1時(shí)，a₁=a₂=…=a_m成立．
當(dāng)λ≠1時(shí)，a_i-a_q=

λ

1-λ

（a_q-a_p），
則數(shù)列{a_n-a_n-1}（2≤n≤m）是等比數(shù)列，于是：
a_m-a_m-1=（a₂-a₁）（

λ

1-λ

）^m-2，
又a₁-a_m=

λ

1-λ

（a_m-a_m-1），a₂-a₁=

λ

1-λ

（a₁-a_m），
∴a₂-a₁=（

λ

1-λ

）^m（a₂-a₁），
所以

λ

1-λ

=1，或a₂-a₁=0．
若a₂-a₁=0，則a₁=a₂=…=a_m．
若

λ

1-λ

=1，則λ=

1

2

，
此時(shí)數(shù)列{a_n}（1≤n≤m）為等差數(shù)列，設(shè)公差為d，
則a_m=a₁+（m-1）d，a_m-1=a₁+（m-2）d，
又a_m=

am-1+a1

2

，∴d=0，
∴a₁=a₂=…=a_m．
綜上所述：a₁=a₂=…=a_m．

點(diǎn)評：本題考查累加法求數(shù)列的通項(xiàng)，考查推理誰能力和計(jì)算應(yīng)用能力，綜合性強(qiáng)，難度大，是高考的重點(diǎn)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．