Question

如圖，已知曲線C：y=

1

x

在點(diǎn)P（1，1）處的切線與x軸交于點(diǎn)Q₁，過點(diǎn)Q₁作x軸的垂線交曲線C于點(diǎn)P₁，曲線C在點(diǎn)P₁處的切線與x軸交于點(diǎn)Q₂，過點(diǎn)Q₂作x軸的垂線交曲線C于點(diǎn)P₂，…，依次得到一系列點(diǎn)P₁、P₂、…、P_n，設(shè)點(diǎn)P_n的坐標(biāo)為（x_n，y_n）（n∈N^*）．
（Ⅰ）求數(shù)列{x_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）求證：三角形P_nP_n+1P_n+2的面積為定值．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的應(yīng)用,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）通過求導(dǎo)即可得到切線的斜率，進(jìn)而得到切線的方程，即可得到x_n+1與x_n的關(guān)系，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求出．
（Ⅱ）求出SPnQnQnPn+1=

1

2

(

1

2n

+

1

2n+1

)(2n+1-2n)=

3

4

，SPn+1Qn+1Qn+1Pn+2=

3

4

，SPnQnQn+2Pn+2=

15

8

，即可求出三角形P_nP_n+1P_n+2的面積為定值．

解答： 解：（Ⅰ）由y=

1

x

求導(dǎo)得y′=-

1

x2

，
∴曲線C：y=

1

x

在點(diǎn)P（1，1）處的切線方程為y-1=-（x-1），即y=-x+2．
此切線與x軸的交點(diǎn)Q₁的坐標(biāo)為（2，0），
∴點(diǎn)P₁的坐標(biāo)為(2，

1

2

)．即x1=2，y1=

1

2

．-------------------（2分）
∵點(diǎn)P_n的坐標(biāo)為（x_n，y_n）（n∈N^*），P_n在曲線C上，所以yn=

1

xn

，
∴曲線C：y=

1

x

在點(diǎn)P_n（x_n，y_n）處的切線方程為y-

1

xn

=-

1

x 2 n

(x-xn)，---（5分）
令y=0，得點(diǎn)Q_n+1的橫坐標(biāo)為x_n+1=2x_n．
∴數(shù)列{x_n}是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列．
∴xn=2n（n∈N^*）．---------------------（8分）
（Ⅱ）設(shè)P_n（x_n，y_n），P_n+1（x_n+1，y_n+1），P_n+2（x_n+2，y_n+2），
∵SPnQnQnPn+1=

1

2

(

1

2n

+

1

2n+1

)(2n+1-2n)=

3

4

，SPn+1Qn+1Qn+1Pn+2=

3

4

，SPnQnQn+2Pn+2=

15

8

，
∴△P_nP_n+1P_n+2的面積為

15

8

-

3

4

-

3

4

=

3

8

．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握導(dǎo)數(shù)的幾何意義、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式，三角形面積計(jì)算公式是關(guān)鍵．