Question

．（本小題滿分12分）如圖所示，矩形ABCD的邊AB=，BC=2，PA⊥平面ABCD，PA=2，現(xiàn)有數(shù)據(jù)： ①；②；③；建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，

（I）當(dāng)BC邊上存在點(diǎn)Q，使PQ⊥QD時(shí)，可能取所給數(shù)據(jù)中的哪些值?請(qǐng)說明理由；

（II）在滿足（I）的條件下，若取所給數(shù)據(jù)的最小值時(shí)，這樣的點(diǎn)Q有幾個(gè)? 若沿BC方向依次記為，試求二面角的大小.

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 

解：（I）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則各點(diǎn)坐標(biāo)分別為:

  ，，，，

 

 

設(shè)(0≤x≤2)， …………………2分

∵∴由PQ⊥QD得

。

∵ ……………4分

∴在所給數(shù)據(jù)中，可取和兩個(gè)值. ……6分

 

(II)  由(Ⅰ)知，此時(shí)或，即滿足條件的點(diǎn)Q有兩個(gè)，…8分

根據(jù)題意，其坐標(biāo)為和，……9分

∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AQ₁，PA⊥AQ₂，

∴∠Q₁AQ₂就是二面角Q₁-PA-Q₂的平面角.……………………10分

由=，

得∠Q₁AQ₂=30°，∴二面角Q₁-PA-Q₂的大小為30°.………………………12分

 

【解析】略