Question

數(shù)列{a_n}(n∈N*)中，a₁=a，a_n+1是函數(shù)的極小值點(diǎn)，
(Ⅰ)當(dāng)a=0時(shí)，求通項(xiàng)a_n；
(Ⅱ)是否存在a，使數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列？若存在，求a的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：易知f′_n(x)=x²-(3a_n+n²)x+3n²a_n=(x-3a_n)(x-n²)，
令f′_n(x)=0，得x₁=3a_n，x₂=n²，
①若3a_n＜n²，則當(dāng)x＜3a_n時(shí)，f′_n(x)＞0，f_n(x)單調(diào)遞增；
當(dāng)3a_n＜x＜n²時(shí)， f′_n(x)＜0，f_n(x)單調(diào)遞減；
當(dāng)x＞n²時(shí)，f′_n(x)＞0，f_n(x)單調(diào)遞增；
故f_n(x)在x=n²取得極小值．
②若3a_n＞n²，仿①可得，f_n(x)在x=3a_n取得極小值；
③若3a_n=n²，則f′_n(x)≥0，f_n(x)無(wú)極值。
(Ⅰ)當(dāng)a=0時(shí)，a₁=0，則3a₁＜1²，由(1)知，a₂=1²=1，
因3a₂=3＜2²，則由(1)知，a₃=2²=4，
因?yàn)?a₃=12＞3²，則由(2)知，a₄=3a₃=3×4．
又因?yàn)?a₄=36＞4²，則由(2)知，a₅=3a₄=3²×4．
由此猜測(cè)：當(dāng)n≥3時(shí)，a_n=4×3^n-3，
下面先用數(shù)學(xué)歸納法證明，當(dāng)n≥3時(shí)，3a_n＞n²．
事實(shí)上，當(dāng)n=3時(shí)，由前面的討論知結(jié)論成立．
假設(shè)當(dāng)n=k(k≥3)時(shí)，3a_k＞k²成立，
則由(2)知，a_k+1=3a_k＞k²，
從而3a_k+1-(k+1)²＞3k²-(k+1)²=2k(k-2)+2k-1＞0，
所以3a_k+1＞(k+1)²，
故當(dāng)n≥3時(shí)，3a_n＞n²成立；
于是由(2)知，當(dāng)n≥3時(shí)，a_n+1=3a_n，而a₃=4，因此a_n=4×3^n-3；
綜上所述，當(dāng)a=0時(shí)，a₁=0，a₂=1，a_n=4×3^n-3(n≥3)。
(Ⅱ)存在a，使數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列．
事實(shí)上，由(2)知，若對(duì)任意的n，都有3a_n＞n²，則a_n+1=3a_n，
即數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為a，公比為3的等比數(shù)列，且a_n=a·3^n-1，
而要使3a_n≥n²，即a·3ⁿ＞n²對(duì)一切n∈N*都成立，只需a＞對(duì)一切n∈N*都成立，
記，則，
令，則，
因此，當(dāng)x≥2時(shí)，y′＜0，從而函數(shù)在[2，+∞)上單調(diào)遞減；
故當(dāng)n≥2時(shí)，數(shù)列{b_n}單調(diào)遞減，即數(shù)列{b_n}中最大項(xiàng)為b₂=，
于是當(dāng)a＞時(shí)，必有，這說(shuō)明，當(dāng)a∈時(shí)，數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列；
當(dāng)時(shí)，可得，
而3a₂=4=2²，由(3)知，f₂(x)無(wú)極值，不合題意；
當(dāng)時(shí)，可得a₁=a，a₂=3a，a₃=4，a₄=12，…，數(shù)列{a_n}不是等比數(shù)列；
當(dāng)時(shí)，3a=1=1²，由(3)知，f₁(x)無(wú)極值，不合題意；
當(dāng)時(shí)，可得a₁=a，a₂=1，a₃=4，a₄=12，…，數(shù)列{a_n}不是等比數(shù)列；
綜上所述，存在a，使數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，且a的取值范圍為。