Question

8．已知f（x）=kx+b的圖象過點(diǎn)（2，1），且b²-6b+9≤0
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）若a＞0，解關(guān)于x的不等式x²-（a²+a+1）x+a³+3＜f（x）．

Answer 1

分析 （1）由已知得$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=1}\\{（b-3）^{2}≤0}\end{array}\right.$，由此能求出f（x）．
（2）原不等式等價(jià)于x²-（a²+a）x+a³＜0，由此能求出關(guān)于x的不等式x²-（a²+a+1）x+a³+3＜f（x）．

解答 解：（1）∵f（x）=kx+b的圖象過點(diǎn)（2，1），且b²-6b+9≤0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=1}\\{（b-3）^{2}≤0}\end{array}\right.$，解得b=3，k=-1．
∴f（x）=-x+3．
（2）∵a＞0，x²-（a²+a+1）x+a³+3＜f（x），
∴-x+3＞x²-（a²+a+1）x+a³+3，
∴x²-（a²+a）x+a³＜0，
解方程x²-（a²+a）x+a³=0，得x₁=a，${x}_{2}={a}^{2}$，
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，原不等式的解集為：{x|a²＜x＜a}；
當(dāng)a=1時(shí)，原不等式的解集為：{x|x≠1}；
當(dāng)a＞1時(shí)，原不等式的解集為：{x|a＜x＜a²}．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的解析式的求法，考查不等式的解法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用．