(22)

已知?jiǎng)訄A過(guò)定點(diǎn)，且與直線相切，其中.

（I）求動(dòng)圓圓心的軌跡的方程；

（II）設(shè)A、B是軌跡上異于原點(diǎn)的兩個(gè)不同點(diǎn)，直線和的傾斜角分別為和，當(dāng)變化且時(shí)，證明直線恒過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).

22、

解：（I）如圖，

設(shè)為動(dòng)圓圓心，為記為，過(guò)點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，由題意知：

即動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)與定直線的距離相等。由拋物線的定義知，點(diǎn)的軌跡為拋物線，其中為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線，所以軌跡方程為。

（II）如圖，設(shè)，由題意得。

又直線的傾斜角滿足，故。

∴直線的斜率存在，否則，直線的傾斜角之和為。

從而設(shè)直線的方程為，

顯然，將與聯(lián)立，消去，

得

由韋達(dá)定理知（*）

由，

得

將（*）式代入上式整理化簡(jiǎn)，得

。

此時(shí)，直線的方程可表示為：，

即。

所以直線恒過(guò)定點(diǎn)。


練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知?jiǎng)狱c(diǎn)P到定直線l：x=2
2
的距離與點(diǎn)P到定點(diǎn)F(
2
，0)之比為
2
．
（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡c的方程；
（2）若點(diǎn)N為軌跡C上任意一點(diǎn)（不在x軸上），過(guò)原點(diǎn)O作直線AB交（1）中軌跡C于點(diǎn)A、B，且直線AN、BN的斜率都存在，分別為k1、k2，問(wèn)k1•k2是否為定值？
（3）若點(diǎn)M為圓O：x2+y2=4上任意一點(diǎn)（不在x軸上），過(guò)M作圓O的切線，交直線l于點(diǎn)Q，問(wèn)MF與OQ是否始終保持垂直關(guān)系？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2006•靜安區(qū)二模）已知?jiǎng)訄A過(guò)定點(diǎn)F(
1
2
，0)，且與定直線l：x=-
1
2
相切．
（1）求動(dòng)圓圓心M的軌跡方程；
（2）設(shè)點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P、Q兩點(diǎn)在動(dòng)點(diǎn)M的軌跡上，且滿足OP⊥OQ，OP=OQ，求等腰直角三角形POQ的面積；
（3）設(shè)一直線l與動(dòng)點(diǎn)M的軌跡交于R、S兩點(diǎn)，若
OR
•
OS
=-1且2
2
≤|RS|＜4
14
，試求該直線l的傾斜角的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知拋物線C：y2=ax（a＞0），拋物線上一點(diǎn)N(x0， 2
2
) (x0＞1)到拋物線的焦點(diǎn)F的距離是3．
（1）求a的值；
（2）已知?jiǎng)又本�l過(guò)點(diǎn)P（4，0），交拋物線C于A、B兩點(diǎn)．
（i）若直線l的斜率為1，求AB的長(zhǎng)；
（ii）是否存在垂直于x軸的直線m被以AP為直徑的圓M所截得的弦長(zhǎng)恒為定值？如果存在，求出m的方程；如果不存在，說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：044

(2005山東，22)如下圖,已知?jiǎng)訄A過(guò)定點(diǎn)，且與直線相切，其中p＞0，

(1)求動(dòng)圓圓心的軌跡C的方程；

(2)設(shè)A、B是軌跡C上異于原點(diǎn)O的兩個(gè)不同點(diǎn)，直線OA和OB的傾斜角分別為α和β，當(dāng)α、β變化且α+β為定值θ(0＜θ＜π)時(shí)，證明：直線AB恒過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

(22)已知?jiǎng)訄A過(guò)定點(diǎn)，且與直線相切，其中.

（I）求動(dòng)圓圓心的軌跡的方程；

（II）設(shè)A、B是軌跡上異于原點(diǎn)的兩個(gè)不同點(diǎn)，直線和的傾斜角分別為和，當(dāng)變化且為定值時(shí)，證明直線恒過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).

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