【題目】已知函數(shù)f(x)=ax+blnx(a,b∈R)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為yx﹣1.
(1)求ab的值;
(2)當(dāng)x>1時(shí),f(x)0恒成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍;
(3)設(shè)g(x)=exx,求證:對(duì)于x∈(0,+∞),g(x)﹣f(x)>2恒成立.
【答案】(1)a,b=1.(2)k∈.(3)見(jiàn)解析
【解析】
(1)求導(dǎo)數(shù),利用切線方程可得,從而可求得;
(2)x>1時(shí),f(x)0恒成立,轉(zhuǎn)化為恒成立,求的最小值即可;
(3)g(x)﹣f(x)﹣2=exx﹣(x+lnx)﹣2=ex﹣lnx﹣2>0在x∈(0,+∞)上恒成立.
ex﹣x﹣1>lnx﹣x+1在x∈(0,+∞)上恒成立.這樣只要求得的最小值,的最大值,即可證明.
(1)f′(x)=a.
函數(shù)f(x)=ax+blnx(a,b∈R)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為yx﹣1.
∴=a+b,f(1)=a1,
解得a,b=1.
(2)f(x)x+lnx,
當(dāng)x>1時(shí),f(x)0恒成立,
等價(jià)于:k,x∈(1,+∞).
令u(x)x2﹣xlnx,x∈(1,+∞).
則u′(x)=x﹣lnx﹣1,
令v(x)=x﹣lnx﹣1,x∈(1,+∞).
∴v′(x)=10,
∴u′(x)=x﹣lnx﹣1>u′(1)=0,
∴u(x)在x∈(1,+∞)上單調(diào)遞增.
∴k≤u(1).
∴k∈.
(3)證明:設(shè)g(x)=exx,
g(x)﹣f(x)﹣2=exx﹣(x+lnx)﹣2=ex﹣lnx﹣2>0在x∈(0,+∞)上恒成立.
ex﹣x﹣1>lnx﹣x+1在x∈(0,+∞)上恒成立.
令F(x)=ex﹣x﹣1,x∈(0,+∞).G(x)=lnx﹣x+1,x∈(0,+∞).
F′(x)=ex﹣1,x∈(0,+∞).
則F′(x)>F′(0)=0,
∴F(x)>F(0)=0.
G′(x),
可得x=1時(shí),函數(shù)G(x)取得極大值即最大值,
∴G(x)≤G(1)=0.
∴g(x)﹣f(x)﹣2>0在x∈(0,+∞)上恒成立.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】關(guān)于函數(shù)有以下三個(gè)判斷
①函數(shù)恒有兩個(gè)零點(diǎn)且兩個(gè)零點(diǎn)之積為-1;
②函數(shù)恒有兩個(gè)極值點(diǎn)且兩個(gè)極值點(diǎn)之積為-1;
③若是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn),則函數(shù)極小值為-1.
其中正確判斷的個(gè)數(shù)有( )
A.0個(gè)B.1個(gè)C.個(gè)D.個(gè)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在數(shù)列中,若是正整數(shù),且, ,則稱為“D-數(shù)列”.
(1)舉出一個(gè)前六項(xiàng)均不為零的“D-數(shù)列”(只要求依次寫(xiě)出該數(shù)列的前六項(xiàng));
(2)若“D-數(shù)列”中,,,數(shù)列滿足,,分別判斷當(dāng)時(shí),與的極限是否存在?如果存在,求出其極限值(若不存在不需要交代理由);
(3)證明:任何“D-數(shù)列”中總含有無(wú)窮多個(gè)為零的項(xiàng).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在一個(gè)有窮數(shù)列每相鄰兩項(xiàng)之間添加一項(xiàng),使其等于兩相鄰項(xiàng)的和,我們把這樣的操作叫做該數(shù)列的一次“H擴(kuò)展”. 已知數(shù)列1,2. 第一次“H擴(kuò)展”后得到1,3,2;第二次“H擴(kuò)展”后得到1,4,3,5,2; 那么第10次“H擴(kuò)展”后得到的數(shù)列的所有項(xiàng)的和為( )
A.88572B.88575C.29523D.29526
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知數(shù)列是公比大于的等比數(shù)列,為數(shù)列的前項(xiàng)和,,且,,成等差數(shù)列.數(shù)列的前項(xiàng)和為,滿足,且,
(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式;
(2)令,求數(shù)列的前項(xiàng)和為;
(3)將數(shù)列,的項(xiàng)按照“當(dāng)為奇數(shù)時(shí),放在前面;當(dāng)為偶數(shù)時(shí),放在前面”的要求進(jìn)行排列,得到一個(gè)新的數(shù)列:,,,,,,,,,,,,求這個(gè)新數(shù)列的前項(xiàng)和.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】第28屆金雞百花電影節(jié)將在福建省廈門(mén)市舉辦,近日首批影展片單揭曉,《南方車(chē)站的聚會(huì)》《春江水暖》《第一次的離別》《春潮》《抵達(dá)之謎》五部?jī)?yōu)秀作品將在電影節(jié)進(jìn)行展映.若從這五部作品中隨機(jī)選擇兩部放在展映的前兩位,則《春潮》與《抵達(dá)之謎》至少有一部被選中的概率為 _____.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)求證:當(dāng)時(shí),對(duì)任意恒成立;
(2)求函數(shù)的極值;
(3)當(dāng)時(shí),若存在且,滿足,求證:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】一種擲硬幣走跳棋的游戲:在棋盤(pán)上標(biāo)有第1站、第2站、第3站、…、第100站,共100站,設(shè)棋子跳到第站的概率為,一枚棋子開(kāi)始在第1站,棋手每擲一次硬幣,棋子向前跳動(dòng)一次.若硬幣的正面向上,棋子向前跳一站;若硬幣的反面向上,棋子向前跳兩站,直到棋子跳到第99站(失敗)或者第100站(獲勝)時(shí),游戲結(jié)束.
(1)求;
(2)求證:數(shù)列為等比數(shù)列;
(3)求玩該游戲獲勝的概率.
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