Question

觀察（1）sin²30°+cos²60°+sin30°cos60°=

3

4

；
    （2）sin²10°+cos²40°+sin10°cos40°=

3

4

；
    （3）sin²6°+cos²36°+sin6°cos36°=

3

4

．
請(qǐng)你根據(jù)上述規(guī)律，提出一個(gè)猜想，并證明．

Answer 1

考點(diǎn)：歸納推理

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),推理和證明

分析：觀察所給的等式，等號(hào)左邊是sin²30°+cos²60°+sin30°cos60°=

3

4

，sin²10°+cos²40°+sin10°cos40°=

3

4

；sin²6°+cos²36°+sin6°cos36°=

3

4

．規(guī)律應(yīng)該是sin²α+cos²（30°+α）+sinαcos（30°+α）=

3

4

，寫出結(jié)果．

解答： 解：由已知中的等式：
（1）sin²30°+cos²60°+sin30°cos60°=

3

4

；
（2）sin²10°+cos²40°+sin10°cos40°=

3

4

；
（3）sin²6°+cos²36°+sin6°cos36°=

3

4

．
…
歸納可得：sin²α+cos²（30°+α）+sinαcos（30°+α）=

3

4

，
理由如下：
左邊=

1-cos2α

2

+

1-cos(60°+2α)

2

+sinα（

3

2

cosα-

1

2

sinα）
=

1-cos2α

2

+

1+ 1 2 cos2α- 3 2 sin2α

2

+

3

4

sin2α-

1

2

×

1-cos2α

2

=

3

4

=右邊．

點(diǎn)評(píng)：本題考查類比推理，考查對(duì)于所給的式子的理解，從所給式子出發(fā)，通過(guò)觀察、類比、猜想出一般規(guī)律，不需要證明結(jié)論，該題著重考查了類比的能力．