Question

已知函數f（x）=x³+ax²+4（a∈R是常數），曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線在y軸上的截距為5．
（1）求a的值；
（2）k≤0，討論直線y=kx與曲線y=f（x）的公共點的個數．

Answer 1

考點：利用導數研究曲線上某點切線方程,根的存在性及根的個數判斷

專題：導數的綜合應用

分析：（1）求出原函數的導函數，得到函數在x=1時的導數，再求出f（1），由直線方程的點斜式求得曲線
y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程，求出直線在y軸上的截距，由截距為5求得a的值；
（2）把（1）中求出的a值代入函數解析式，求導得到函數的極值點與極值，根據x=0為極大值點，且極大值大于0，x=2為極小值點，且極小值等于0，可得k≤0時，直線y=kx與曲線y=f（x）的公共點的個數為1個．

解答： 解：（1）∵f（x）=x³+ax²+4，∴f′（x）=3x²+2ax，則f′（1）=3+2a，
又f（1）=5+a，
∴曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y-5-a=（3+2a）（x-1），
取x=0得：y=2-a，
由2-a=5，得a=-3；

（2）f（x）=x³-3x²+4，f′（x）=3x²-6x，
當x∈（-∞，0），（2，+∞）時，f′（x）＞0，
當x∈（0，2）時，f′（x）＜0．
∴當x=0時函數f（x）取得極大值為f（0）=4；當x=2時函數f（x）取得極小值為f（2）=0．
由當x→-∞時，f（x）→-∞．
∴k≤0，直線y=kx與曲線y=f（x）只有1個公共點．

點評：本題考查了利用導數研究過曲線上某點處的切線方程，考查了根的存在性及根的個數的判斷，是中高檔題．