Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₁=1，?n∈N^*，S_n+1=2S_n+1．
（Ⅰ）求數(shù)列{S_n}的通項(xiàng)公式．
（Ⅱ）對(duì)?n∈N^*，．．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由數(shù)列遞推式，證明{S_n+1}是首項(xiàng)為2、公比為2的等比數(shù)列，從而可求數(shù)列{S_n}的通項(xiàng)公式
（Ⅱ）確定，可得，再利用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和，即可證得結(jié)論．
解答：（Ⅰ）解：依題意，?n∈N^*，S_n+1+1=2S_n+1+1=2（S_n+1）
又S₁+1=a₁+1=2≠0，所以{S_n+1}是首項(xiàng)為2、公比為2的等比數(shù)列                              …（3分）
所以，…（5分）
（Ⅱ）證明：對(duì)?n∈N^*，，所以?n∈N^*，…（8分）
∴
∴
∴…（10分）
兩式相減，整理得=＜4…（14分）．
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列遞推式，考查等比數(shù)列的證明，考查錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和，考查不等式的證明，確定數(shù)列的通項(xiàng)是關(guān)鍵．