Question

（本小題滿分14分）
如圖5,在三棱柱中，側(cè)棱底面,為的中點,
,.
（1）求證：平面；
(2) 求四棱錐的體積.  圖5

Answer 1

（本小題滿分14分）
(本小題主要考查空間線面關(guān)系、錐體的體積等知識, 考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力)
（1）證明:連接,設(shè)與相交于點,連接,
∵ 四邊形是平行四邊形,
∴點為的中點.                   
∵為的中點，
∴為△的中位線,
∴ .                   …… 3分
∵平面,平面,
∴平面.             …… 6分
(2)解法1: ∵平面,平面,
∴ 平面平面，且平面平面.
作，垂足為，則平面，                      …… 8分
∵，，
在Rt△中，，，
…… 10分
∴四棱錐的體積             …… 12分
.
∴四棱錐的體積為.                                     …… 14分

解法2: ∵平面,平面,
∴.
∵,
∴.
∵,
∴平面.        …… 8分
取的中點,連接,則,
∴平面.
三棱柱的體積為,                   …… 10分
則,.
…… 12分
而,
∴.      ∴.
∴四棱錐的體積為.                                       …… 14分

略