【題目】將一個(gè)半徑為3分米，圓心角為α（α∈（0，2π））的扇形鐵皮焊接成一個(gè)容積為V立方分米的圓錐形無(wú)蓋容器（忽略損耗）．
（1）求V關(guān)于α的函數(shù)關(guān)系式；
（2）當(dāng)α為何值時(shí)，V取得最大值；
（3）容積最大的圓錐形容器能否完全蓋住桌面上一個(gè)半徑為0.5分米的球？請(qǐng)說(shuō)明理由．

【答案】
（1）解：由題意知圓錐的母線l=3，設(shè)圓錐的底面半徑為r，則2πr=3α，

∴r= ，∴圓錐的高h(yuǎn)= = = ．

∴V= =


（2）解：V= = ≤ =2 ．

當(dāng)且僅當(dāng)4π2﹣α2= 即α= 時(shí)，取等號(hào)．

∴當(dāng)α= 時(shí)，體積V取得最大值


（3）解：當(dāng)圓錐體積最大時(shí)，圓錐的底面半徑r= ．

設(shè)圓錐軸截面△ABC的內(nèi)切圓⊙O半徑為R，如圖所示，

則OD=R，CD=CE= ，AC=3，∴AE= ，AD=3﹣ ．

由△AOD∽△ACE得 ，

∴ ，解得R=3 ≈0.8．

∵0.8＞0.5，

∴容積最大的圓錐形容器能完全蓋住桌面上一個(gè)半徑為0.5分米的球．


【解析】（1）根據(jù)面積得出圓錐的底面半徑，利用勾股定理求出圓錐的高，代入體積公式即可；（2）利用基本不等式得出體積的最值及取得最值得條件；（3）求出圓錐內(nèi)切球的半徑，與0.5比較大小．
【考點(diǎn)精析】掌握基本不等式在最值問(wèn)題中的應(yīng)用和旋轉(zhuǎn)體（圓柱、圓錐、圓臺(tái)）是解答本題的根本，需要知道用基本不等式求最值時(shí)（積定和最小，和定積最大），要注意滿足三個(gè)條件“一正、二定、三相等”；常見(jiàn)的旋轉(zhuǎn)體有：圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)

（I）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，試求出的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知定義域?yàn)?/span>的單調(diào)遞減的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，.

（1）求的值；

（2）求的解析式；

（3）若對(duì)任意的，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）=x2+2x+alnx在區(qū)間（0，1）內(nèi)無(wú)極值點(diǎn)，則a的取值范圍是 ．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】若是兩個(gè)相交平面，則在下列命題中，真命題的序號(hào)為 ．（寫(xiě)出所有真命題的序號(hào)）

①若直線，則在平面內(nèi)，一定不存在與直線平行的直線．

②若直線，則在平面內(nèi)，一定存在無(wú)數(shù)條直線與直線垂直．

③若直線，則在平面內(nèi)，不一定存在與直線垂直的直線．

④若直線，則在平面內(nèi)，一定存在與直線垂直的直線．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】下列說(shuō)法：

①函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是；

②若函數(shù)定義域?yàn)?/span>且滿足，則它的圖象關(guān)于軸對(duì)稱；

③函數(shù)的值域?yàn)?/span>；

④函數(shù)的圖象和直線的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)是，則的值可能是；

⑤若函數(shù)在上有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.

其中正確的序號(hào)是_________.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】設(shè)數(shù)列{an}按三角形進(jìn)行排列，如圖，第一層一個(gè)數(shù)a1 ， 第二層兩個(gè)數(shù)a2和a3 ， 第三層三個(gè)數(shù)a4 ， a5和a6 ， 以此類推，且每個(gè)數(shù)字等于下一層的左右兩個(gè)數(shù)字之和，如a1=a2+a3 ， a2=a4+a5 ， a3=a5+a6 ， …．

（1）若第四層四個(gè)數(shù)為0或1，a1為奇數(shù)，則第四層四個(gè)數(shù)共有多少種不同取法？
（2）若第十一層十一個(gè)數(shù)為0或1，a1為5的倍數(shù)，則第十一層十一個(gè)數(shù)共有多少種不同取法？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某醫(yī)藥研究所開(kāi)發(fā)一種新藥, 成年人按規(guī)定的劑量服用后, 每毫升血液中的含藥量(微克)與時(shí)間(小時(shí))之間關(guān)系滿足如圖所示的曲線.

(1)寫(xiě)出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式:；

(2)據(jù)進(jìn)一步測(cè)定: 每毫升血液中的含藥量不少于微克時(shí), 治療疾病有效. 求服藥一次后治療疾病有效的時(shí)間.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】若f（x）=ex+ae﹣x為偶函數(shù)，則f（x﹣1）＜ 的解集為（ ）
A.（2，+∞）
B.（0，2）
C.（﹣∞，2）
D.（﹣∞，0）∪（2，+∞）

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