精英家教網(wǎng)如圖,已知四棱錐P-ABCD的底面為等腰梯形,AB∥CD,AC⊥BD,垂足為H,PH是四棱錐的高.
(Ⅰ)證明:平面PAC⊥平面PBD;
(Ⅱ)若AB=
6
,∠APB=∠ADB=60°,求四棱錐P-ABCD的體積.
分析:(Ⅰ)要證平面PAC⊥平面PBD,只需證明平面PAC內(nèi)的直線AC,垂直平面PBD內(nèi)的兩條相交直線PH,BD即可.
(Ⅱ)AB=
6
,∠APB=∠ADB=60°,計算等腰梯形ABCD的面積,PH是棱錐的高,然后求四棱錐P-ABCD的體積.
解答:解:
(1)因為PH是四棱錐P-ABCD的高.
所以AC⊥PH,又AC⊥BD,PH,BD都在平PHD內(nèi),且PH∩BD=H.
所以AC⊥平面PBD.
故平面PAC⊥平面PBD(6分)
(2)因為ABCD為等腰梯形,AB∥CD,AC⊥BD,AB=
6

所以HA=HB=
3

因為∠APB=∠ADB=60°
所以PA=PB=
6
,HD=HC=1.
可得PH=
3

等腰梯形ABCD的面積為S=
1
2
ACxBD=2+
3
(9分)
所以四棱錐的體積為V=
1
3
×(2+
3
)×
3
=
3+2
3
3
.(12分)
點評:本題考查平面與平面垂直的判定,棱柱、棱錐、棱臺的體積,考查空間想象能力,計算能力,推理能力,是中檔題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖:已知四棱錐P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,ABCD是正方形,E是PA的中點,
求證:
(1)PC∥平面EBD.
(2)平面PBC⊥平面PCD.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知四棱錐P-ABCD,底面ABCD為菱形,PA⊥平面ABCD,∠ABC=60°,E、F分別是BC、PC的中點.
(1)證明:AE⊥PD;
(2)設(shè)AB=2,若H為線段PD上的動點,EH與平面PAD所成的最大角的正切值為
6
2
,求AP的長度.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知四棱錐P-ABCD的底面為菱形,∠BCD=60°,PD⊥AD.點E是BC邊上的中點.
(1)求證:AD⊥面PDE;
(2)若二面角P-AD-C的大小等于60°,且AB=4,PD=
8
3
3
;①求VP-ABED; ②求二面角P-AB-C大。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•崇明縣二模)如圖,已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD為正方形,PA⊥平面ABCD,E、F分別是BC,PC的中點,AB=2,AP=2.
(1)求證:BD⊥平面PAC;
(2)求二面角E-AF-C的大小.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•吉林二模)如圖,已知四棱錐P-ABCD的底面是正方形,PA⊥面ABCD,且PA=AD=2,點M,N分別在PD,PC上,
PN
=
1
2
NC
,PM=MD.
(Ⅰ) 求證:PC⊥面AMN;
(Ⅱ)求二面角B-AN-M的余弦值.

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