Question

已知函數(shù)

(Ⅰ)設(shè)，求的單調(diào)區(qū)間;

(Ⅱ) 設(shè)，且對(duì)于任意，.試比較與的大小.

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ) 單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是 

(Ⅱ)

【解析】(Ⅰ)由得

（1）當(dāng)時(shí)，

(i)若，當(dāng)時(shí)，恒成立，

所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是.

(ii)若，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增.

所以的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是

（2）當(dāng)時(shí)，令得，

由得

顯然

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增.

所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，

單調(diào)遞增區(qū)間是.

(Ⅱ)由題意知函數(shù)在處取得最小值，

由（I）知是的唯一極小值點(diǎn)，

故，整理得，

令則

由得

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減.

因此

故，即

即

【考點(diǎn)定位】本題考查導(dǎo)數(shù)法研究函數(shù)的單調(diào)性和相關(guān)函數(shù)值的大小比較，考查分類討論思想、推理論證能力和運(yùn)算求解能力.函數(shù)的單調(diào)區(qū)間判斷必然通過導(dǎo)數(shù)方法來解決，伴隨而來的是關(guān)于的分類討論.比較與的大小時(shí)要根據(jù)已知條件和第一問的知識(shí)儲(chǔ)備，構(gòu)造新的函數(shù)利用單調(diào)性直接運(yùn)算函數(shù)值得到結(jié)論.本題具備導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的特征，必然按照程序化運(yùn)行，即求導(dǎo)、關(guān)于參數(shù)分類討論、確定單調(diào)區(qū)間等步驟進(jìn)行.而第二問則是在第一問的基礎(chǔ)上進(jìn)一步挖掘解題素材，如隱含條件的發(fā)現(xiàn)、新函數(shù)的構(gòu)造等，都為解決問題提供了有力支持.