Question

（2011•萬(wàn)州區(qū)一模）已知點(diǎn)A（-1，0）、B（1，0）和動(dòng)點(diǎn)P滿足：∠APB=2θ，且|PA|•|PB|cos²θ=1．
（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；
（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)A的直線l交曲線C于E、F兩點(diǎn)，若△BEF的面積等于

4

3

，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）在△PAB中，由余弦定理得|AB|²=|PA|²+|PB|²-2|PA|•|PB|cos2θ，所以|PA|+|PB|=2

2

＞2=|AB|，由此能求出動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程．
（2）設(shè)直線l的方程為x=ty-1，由

x=ty-1 x2 2 +y2=1

，得到（t²+2）y²-2ty-1=0，設(shè)E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），則y1+y2=

2t

t2+2

，y1•y2=

-1

t2+2

，S△BEF=

1

2

|AB|•|y1-y2|=

4

3

．由此能求出直線l的方程．

解答：解：（1）在△PAB中，
由余弦定理得|AB|²=|PA|²+|PB|²-2|PA|•|PB|cos2θ，
∴4=（|PA|+|PB|）²-2|PA||PB|（1+cos2θ）
=（|PA|+|PB|）²-4|PA|•|PB|cos²θ
=（|PA|+|PB|）²-4．
∴|PA|+|PB|=2

2

＞2=|AB|，
即動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為以A、B為兩焦點(diǎn)的橢圓．
∴動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程為：

x2

2

+y2=1．
（2）設(shè)直線l的方程為x=ty-1，
由

x=ty-1 x2 2 +y2=1

，
得到（t²+2）y²-2ty-1=0，
設(shè)E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），
則y1+y2=

2t

t2+2

，y1•y2=

-1

t2+2

，
∴S△BEF=

1

2

|AB|•|y1-y2|
=

(y1+y2)2-4y1y2

=

( 2t t2+2 )2+ 4 t2+2

=

8t2+8

t2+2

=

4

3

．
解得t²=1，
∴t=±1，
當(dāng)t=±1，方程（t²+2）y²-2ty-1=0的△=4+4×3=16＞0適合，
∴直線l的方程為x-y+1=0或x+y+1=0．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，綜合性強(qiáng)，是高考的重點(diǎn)，易錯(cuò)點(diǎn)是知識(shí)體系不牢固．本題具體涉及到軌跡方程的求法及直線與雙曲線的相關(guān)知識(shí)，解題時(shí)要注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．