已知函數(shù)函數(shù)f(x)是定義域為R的奇函數(shù),且它的圖象關(guān)于直線x=1對稱.
(1)求f(0)的值
(2)證明函數(shù)f(x)是周期函數(shù)
(3)若f(x)=x(0<x≤1),求x∈R時,函數(shù)f(x)的解析式,并畫出滿足條件的函數(shù)f(x)至少一個周期的圖象.
分析:(1)由函數(shù)f(x)是奇函數(shù),所以f(-x)=-f(x),令x=0 可得f(0)=0.
(2)根據(jù)f(-x)=-f(x),再由函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱,f(-x)=f(2+x),可得f(2+x)=-f(x),從而得到 f(4+x)=f(x),從而結(jié)論成立.
(3)由條件求出當(dāng)-1≤x≤1時f(x)=x,當(dāng)1<x<3時,則-1<2-x<1,可得f(2-x)=2-x,而函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱,所以f(2-x)=f(x),即f(x)=2-x.
從而得到f(x)在一個周期內(nèi)的解析式,從而得到f(x)在定義域內(nèi)的解析式,從而畫出函數(shù)的圖象.
解答:(1)解:因為函數(shù)f(x)是奇函數(shù),所以f(-x)=-f(x),又f(x)的定義域為R,令x=0,則f(-0)=-f(0),所以f(0)=0.
(2)證明:因為函數(shù)f(x)是奇函數(shù),所以f(-x)=-f(x).
又函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱,所以f(-x)=f(2+x),即f(2+x)=-f(x).
所以f(4+x)=-f(2+x)=f(x),即f(x)是以4為一個周期的周期函數(shù).
(3)解:設(shè)-1≤x<0時,則0<-x≤1,所以f(-x)=-x. 又f(-x)=-f(x),所以f(x)=x,又f(0)=0,
所以,當(dāng)-1≤x≤1時,f(x)=x.
當(dāng)1<x<3時,-3<-x<-1,則-1<2-x<1. 所以f(2-x)=2-x,而函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱,
所以f(2-x)=f(x),即f(x)=2-x. 所以f(x)=
x,-1≤x≤1
2-x,1<x<3

再由f(x)是以4為一個周期的周期函數(shù),從而有f(x)=
x-4k,4k-1≤x≤4k+1
4k+2-x,4k+1<x<4k+3
,(k∈Z).
如圖所示:
點評:本題主要考查函數(shù)的奇偶性和周期性的綜合應(yīng)用,求函數(shù)解析式得方法,求出1<x<3時,函數(shù)解析式為f(x)=2-x,是解題的關(guān)鍵.
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已知函數(shù)f(x)=-2x2+(a+3)x+1-2a,g(x)=x(1-2x)+a,其中a∈R.
(1)若函數(shù)f(x)是偶函數(shù),求函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,3]上的最小值;
(2)用函數(shù)的單調(diào)性的定義證明:當(dāng)a=-2時,f(x)在區(qū)間(
14
,+∞)
上為減函數(shù);
(3)當(dāng)x∈[-1,3],函數(shù)f(x)的圖象恒在函數(shù)g(x)圖象上方,求實數(shù)a的取值范圍.

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已知函數(shù)f(x)=a(lnx-x)(a∈R).
(I)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
(II)若函數(shù)y=f(x)的圖象在點(2,f(2))處的切線的傾斜角為45°,函數(shù)g(x)=x3+x2[
m2
+f′(x)]
在區(qū)間(2,3)上總存在極值,求實數(shù)m的取值范圍.

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已知函數(shù)f(x)的圖象在[a,b]上連續(xù)不斷,定義:f1(x)=min{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a,b]),f2(x)=max{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a,b]).其中,min{f(x)|x∈D}表示函數(shù)f(x)在D上的最小值,max{f(x)|x∈D}表示函數(shù)f(x)在D上的最大值.若存在最小正整數(shù)k,使得f2(x)-f1(x)≤k(x-a)對任意的x∈[a,b]成立,則稱函數(shù)f(x)為[a,b]上的“k階收縮函數(shù)”.
(1)已知函數(shù)f(x)=2sinx,x∈[0,
π
2
],試寫出f1(x),f2(x)的表達(dá)式,并判斷f(x)是否為[0,
π
2
]上的“k階收縮函數(shù)”,如果是,請求對應(yīng)的k的值;如果不是,請說明理由;
(2)已知b>0,函數(shù)g(x)=-x3+3x2是[0,b]上的2階收縮函數(shù),求b的取值范圍.

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已知函數(shù)f(x)=2cosx(cosx-sinx)+1,x∈R
(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期;
(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[
π
8
,
4
]
上的最小值與最大值.
(3)將函數(shù)y=f(x)的圖象沿x軸正方向平移
π
8
個單位,再沿y軸負(fù)方向平移2個單位得到y(tǒng)=g(x)的圖象,求y=g(x)的解析式.

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(2013•海淀區(qū)一模)已知函數(shù)y=f(x),任取t∈R,定義集合:At={y|y=f(x)},點P(t,f(t)),Q(x,f(x))滿足|PQ|
2
.設(shè)Mt,mt分別表示集合At中元素的最大值和最小值,記h(t)=Mt-mt.則
(1)若函數(shù)f(x)=x,則h(1)=
2
2
;
(2)若函數(shù)f(x)=sin
π
2
x,則h(t)的最小正周期為
2
2

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