Question

已知函數(shù)f（x）=

1

2

x²-2alnx+（a-2）x，a∈R．
（I）當a=1時，求函數(shù)f（x）圖象在點（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）當a＜0時，討論函數(shù)f（x）的單調性；
（Ⅲ）是否存在實數(shù)a，對任意的x₁，x₂∈（0，+∞）且x₁≠x₂有

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＞a恒成立？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性

專題：計算題,函數(shù)的性質及應用,導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）求出a=1時函數(shù)f（x）的導數(shù)，求出切點和切線的斜率，由點斜式方程，即可得到切線方程；
（Ⅱ）對a討論：①當a=-2，②-2＜a＜0時，③當a＜-2時，令導數(shù)大于0，得增區(qū)間，令導數(shù)小于0，得減區(qū)間；
（Ⅲ）假設存在這樣的實數(shù)a滿足條件，不妨設x₁＜x₂．條件轉化為f（x₂）-ax₂＞f（x₁）-ax₁成立，令g（x）=f（x）-ax=

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2

x²-2aln x-2x，則函數(shù)g（x）在（0，+∞）上單調遞增，則g′（x）=x-

2a

x

-2≥0，即2a≤x²-2x=（x-1）²-1在（0，+∞）上恒成立．求出不等式右邊的最小值，令2a不大于它即可．

解答： 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=

1

2

x²-2alnx+（a-2）x，
f′（x）=x-

2a

x

+（a-2）=

(x-2)(x+a)

x

（x＞0）
當a=1時，f′（x）=

(x-2)(x+1)

x

，f′（1）=-2，
則所求的切線方程為：y-f（1）=-2（x-1），
即4x+2y-3=0；
（Ⅱ）①當-a=2，即a=-2時，
f′（x）=

(x-2)2

x

≥0，f（x）在（0，+∞）上單調遞增；
②當-a＜2，即-2＜a＜0時，
由0＜x＜-a，或x＞2時，f′（x）＞0，-a＜x＜2時，f′（x）＜0．
則f（x）在（0，-a），（2，+∞）單調遞增，在（-a，2）上單調遞減；
③當-a＞2，即a＜-2時，
由0＜x＜2或x＞-a時，f′（x）＞0；2＜x＜-a時，f′（x）＜0，
f（x）在（0，2），（-a，+∞）上單調遞增，在（2，-a）上單調遞減；
（Ⅲ）假設存在這樣的實數(shù)a滿足條件，不妨設x₁＜x₂．
由

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＞a知f（x₂）-ax₂＞f（x₁）-ax₁成立，
令g（x）=f（x）-ax=

1

2

x²-2aln x-2x，
則函數(shù)g（x）在（0，+∞）上單調遞增，
則g′（x）=x-

2a

x

-2≥0，
即2a≤x²-2x=（x-1）²-1在（0，+∞）上恒成立．，則a≤-

1

2

，
故存在這樣的實數(shù)a滿足題意，其范圍為（-∞，-

1

2

]．

點評：本題考查導數(shù)的運用：求切線方程和單調區(qū)間，同時考查構造函數(shù)，運用導數(shù)求單調性和最值，考查分類討論和參數(shù)分離的思想方法，屬于中檔題．