Question

定義在D上的函數(shù)f（x），如果滿足：對(duì)任意x∈D，存在常數(shù)M≥0，都有|f（x）|≤M成立，則稱f（x）是D上的有界函數(shù)，其中M稱為函數(shù)f（x）的一個(gè)上界．已知函數(shù)f(x)=1+a(

1

2

)x+(

1

4

)x，g(x)=log

1

2

1-ax

x-1

．
（1）若函數(shù)g（x）為奇函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的值；
（2）若a=-1，判斷g（x）在區(qū)間[

5

3

，3]上的單調(diào)性（不必證明），并求g（x）上界的最小值；
（3）若函數(shù)f（x）在[0，+∞）上是以3為上界的有界函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的值域

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由g（x）為奇函數(shù)，得：

1+ax

-x-1

=

x-1

1-ax

，解出即可；
（2）由（1）得：g（x）=

log	1+x x-1 1 2

，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，故函數(shù)g（x）在區(qū)間[

5

3

，3]上的上界的最小值為2．
（3）由題意知，|f（x）|≤3在[0，+∞）上恒成立．P（t₁）-p（t₂）=

(t1-t2)(2t1t2+1)

t1t2

＜0，得h（t）在[1，+∞）上遞減，顯然p（t）在[1，+∞）上遞增，從而求出a的范圍．

解答： 解：（1）因?yàn)楹瘮?shù)g（x）為奇函數(shù)，
所以g（-x）=-g（x）即：

1+ax

-x-1

=

x-1

1-ax

，
得a=±1，而當(dāng)a=1時(shí)不合題意，
故a=-1；
（2）由（1）得：g（x）=

log	1+x x-1 1 2

，
函數(shù)g（x）在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞增，
所以函數(shù)g（x）在區(qū)間[

5

3

，3]上單調(diào)遞增，
函數(shù)g（x）在區(qū)間[

5

3

，3]上的值域?yàn)閇-2，-1]，
所以|g（x）|≤2，故函數(shù)g（x）在區(qū)間[

5

3

，3]上的上界的最小值為2．
（3）由題意知，|f（x）|≤3在[0，+∞）上恒成立．
-3≤f（x）≤3，-4-(

1

4

)x≤a(

1

2

)x≤2-(

1

4

)x．
∴[-4•2x-(

1

2

)x]max≤a≤[2•2x-(

1

2

)x]min，
設(shè)2^x=t，h（t）=-4t-

1

t

，p（t）=2t-

1

t

，
由x∈[0，+∞）得 t≥1，
設(shè)1≤t₁＜t₂，h（t₁）-h（t₂）=

(t1-t2)(4t1t2-1)

t1t2

＞0，
P（t₁）-p（t₂）=

(t1-t2)(2t1t2+1)

t1t2

＜0，
所以h（t）在[1，+∞）上遞減，顯然p（t）在[1，+∞）上遞增，
h（t）在[1，+∞）上的最大值為h（1）=-5，
p（t）在[1，+∞）上的最小值為p（1）=1．
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為[-5，1]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的值域問(wèn)題，函數(shù)的最值問(wèn)題，考查了新定義問(wèn)題，本題屬于中檔題．