Question

【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)為，離心率為，點(diǎn)在橢圓上，且的面積的最大值為.

（1）求橢圓的方程；

（2）已知直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，若在軸上存在點(diǎn)，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) ；（2）.

【解析】

（1）根據(jù)離心率得到，由的面積的最大值為得到，再結(jié)合橢圓中求出參數(shù)的值后可得方程．（2）將直線方程代入橢圓方程消去y得到關(guān)于x的二次方程，結(jié)合根據(jù)系數(shù)的關(guān)系求出線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)，由得，進(jìn)而有，并由此得到，最后根據(jù)基本不等式得到所求范圍．

（1）由題意得，解得．

∴橢圓的方程為．

（2）由消去y整理得，

且．

設(shè)，線段的中點(diǎn)為，

則．

∴，

∴．

∵在軸上存在點(diǎn)，使得，

∴，

∴，即，

∴．

∵，

∴，當(dāng)且僅當(dāng)且，即時(shí)等號成立．

∴，故．

∴實(shí)數(shù)的取值范圍為．