Question

（本小題滿分12分）

已知函數(shù)，其中。

（1）當(dāng)滿足什么條件時(shí)，取得極值?

（2）已知，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，試用表示出的取值范圍。

Answer 1

（1）

（2）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，。

解析:

（1）由已知得，令，得，

要取得極值，方程必須有解，

所以△，即，此時(shí)方程的根為

，，

所以。

當(dāng)時(shí)，

x	(-∞,x1)	x 1	(x1,x2)	x2	(x2,+∞)
f’(x)	＋	0	－	0	＋
f (x)	增函數(shù)	極大值	減函數(shù)	極小值	增函數(shù)

所以在x ₁, x₂處分別取得極大值和極小值；

當(dāng)時(shí)，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    

x	(-∞,x2)	x 2	(x2,x1)	x1	(x1,+∞)
f’(x)	－	0	＋	0	－
f (x)	減函數(shù)	極小值	增函數(shù)	極大值	減函數(shù)

所以在x ₁, x₂處分別取得極大值和極小值。

綜上，當(dāng)滿足時(shí)，取得極值。

（2）要使在區(qū)間上單調(diào)遞增，需使在上恒成立。

即恒成立，所以

設(shè)，，

令得或(舍去)，

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，單調(diào)增函數(shù)；

當(dāng)時(shí),單調(diào)減函數(shù)，

所以當(dāng)時(shí)，取得最大,最大值為。

所以

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在區(qū)間恒成立，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)最大，最大值為，所以

綜上，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，。