【題目】已知函數(shù)
()當(dāng)時(shí),求的單調(diào)區(qū)間和極值.
()若對(duì)于任意,都有成立,求的取值范圍 ;
()若且證明:
【答案】⑴詳見解析;⑵詳見解析.
【解析】試題分析:(1)求導(dǎo)數(shù)分類討論①時(shí),②當(dāng)時(shí),令解得,當(dāng)時(shí),當(dāng)寫出單調(diào)區(qū)間及極值.
(2)轉(zhuǎn)化為對(duì)于恒成立.分離參數(shù)對(duì)于恒成立,利用導(dǎo)數(shù)求不等式右邊的最大值即可.
(3)不妨設(shè)則,要證只要證即證因?yàn)?/span>在區(qū)間上單調(diào)遞增,所以
又即證構(gòu)造函數(shù)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,故而故
所以即所以成立.
試題解析:⑴
①時(shí),因?yàn)?/span>所以
函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是,無單調(diào)遞減區(qū)間,無極值;
②當(dāng)時(shí),令解得,
當(dāng)時(shí),當(dāng)
所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是,單調(diào)遞增區(qū)間是,
在區(qū)間上的極小值為無極大值.
⑵ 由題意,
即問題轉(zhuǎn)化為對(duì)于恒成立.
即對(duì)于恒成立,
令,則
令,則
所以在區(qū)間上單調(diào)遞增,故故
所以在區(qū)間上單調(diào)遞增,函數(shù)
要使對(duì)于恒成立,只要,
所以即實(shí)數(shù)的取值范圍為.
⑶ 因?yàn)?/span>由⑴知,函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增,且
不妨設(shè)則,
要證只要證即證
因?yàn)?/span>在區(qū)間上單調(diào)遞增,所以
又即證
構(gòu)造函數(shù)
即
因?yàn)?/span>,所以即
所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,故
而故
所以即所以成立.
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表1:男生身高頻數(shù)分布表
表2:女生身高頻數(shù)分布表
(1)求該校高一女生的人數(shù);
(2)估計(jì)該校學(xué)生身高在的概率;
(3)以樣本頻率為概率,現(xiàn)從高一年級(jí)的男生和女生中分別選出1人,設(shè)表示身高在學(xué)生的人數(shù),求的分布列及數(shù)學(xué)期望.
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【題目】如圖是七位評(píng)委為甲,乙兩名參賽歌手打出的分?jǐn)?shù)的莖葉圖(其中m,n為數(shù)字0~9中的一個(gè)),則甲歌手得分的眾數(shù)和乙歌手得分的中位數(shù)分別為a和b,則一定有( )
A.a>b
B.a<b
C.a=b
D.a,b的大小與m,n的值有關(guān)
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【題目】已知函數(shù)f(x)=cos(ωx+ ),(ω>0,0<φ<π),其中x∈R且圖象相鄰兩對(duì)稱軸之間的距離為 ;
(1)求f(x)的對(duì)稱軸方程和單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)求f(x)的最大值、最小值,并指出f(x)取得最大值、最小值時(shí)所對(duì)應(yīng)的x的集合.
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【題目】在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,設(shè)S為△ABC的面積,滿足S= (a2+b2﹣c2).
(1)求角C的大。
(2)求sinA+sinB的最大值.
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【題目】有三個(gè)游戲規(guī)則如表,袋子中分別裝有形狀、大小相同的球,從袋中無放回地取球,
游戲1 | 游戲2 | 游戲3 |
袋中裝有3個(gè)黑球和2個(gè)白球 | 袋中裝有2個(gè)黑球和2個(gè)白球 | 袋中裝有3個(gè)黑球和1個(gè)白球 |
從袋中取出2個(gè)球 | 從袋中取出2個(gè)球 | 從袋中取出2個(gè)球 |
若取出的兩個(gè)球同色,則甲勝 | 若取出的兩個(gè)球同色,則甲勝 | 若取出的兩個(gè)球同色,則甲勝 |
若取出的兩個(gè)球不同色,則乙勝 | 若取出的兩個(gè)球不同色,則乙勝 | 若取出的兩個(gè)球不同色,則乙勝 |
問其中不公平的游戲是( )
A.游戲2
B.游戲3
C.游戲1和游戲2
D.游戲1和游戲3
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【題目】(12分)已知橢圓C:(a>b>0),四點(diǎn)P1(1,1),P2(0,1),P3(–1, ),P4(1,)中恰有三點(diǎn)在橢圓C上.
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(2)設(shè)直線l不經(jīng)過P2點(diǎn)且與C相交于A,B兩點(diǎn).若直線P2A與直線P2B的斜率的和為–1,證明:l過定點(diǎn).
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A. 、
B. 、
C. 、
D. 、
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