Question

8．設(shè)函數(shù)f（x）=x²-alnx，g（x）=x²-x．若x∈（1，+∞），恒有函數(shù)f（x）的圖象位于g（x）圖象的上方，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 由題意可得x²-alnx＞x²-x在x＞1恒成立，則a＜$\frac{x}{lnx}$在x＞1恒成立，令h（x）=$\frac{x}{lnx}$（x＞1），求出單調(diào)區(qū)間可得最小值，由恒成立思想可得a的范圍．

解答 解：由題意可得x²-alnx＞x²-x在x＞1恒成立，
則a＜$\frac{x}{lnx}$在x＞1恒成立，
令h（x）=$\frac{x}{lnx}$（x＞1），
則h′（x）=$\frac{lnx-1}{（lnx）^{2}}$，
當x＞e時，h′（x）＞0，h（x）遞增，
當1＜x＜e時，h′（x）＜0，h（x）遞減．
即有x=e取得極小值，也為最小值，且為e，
則a＜e．
即a的取值范圍是（-∞，e）．

點評 本題考查不等式恒成立問題，注意運用參數(shù)分離的方法以及導(dǎo)數(shù)的運用：求最值，屬于中檔題．