Question

17．已知Rt△ABC的斜邊AB的長為3，設(shè)P是以C為圓心1為半徑的圓上的任意一點，則$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$的取值范圍是（　�。�

• A． [-4，2]
• B． [-2，2]
• C． [-2，4]
• D． [1-2$\sqrt{3}$，1+2$\sqrt{3}$]

Answer 1

分析 以CA為x軸，CB為y軸建立直角坐標系，設(shè)∠BAC=α，則A（3cosα，0），B（0，3sinα），P（cosθ，sinθ），再代入計算即可．

解答 解：以CA為x軸，CB為y軸建立直角坐標系，設(shè)∠BAC=α，
則A（3cosα，0），B（0，3sinα），P（cosθ，sinθ），
∴$\overrightarrow{PA}$=（cosθ-3cosθ，sinθ），$\overrightarrow{PB}$=（cosθ，sinθ-3sinθ），
∴$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$=cosθ（cosθ-3cosα）+sinθ（sinθ-3sinα）=1-3cos（θ-α）∈[-2，4]，
∴$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$∈[-2，4]．
故選為：C．

點評 本題的關(guān)鍵在于設(shè)出∠BAC=α，然后用三角代換表示各點的坐標，這樣使得問題容易表達并易于求解，屬中檔題．