Question

設(shè)f（x）=

1

3

x³+mx²+nx，g（x）=f′（x）-2x-3的圖象關(guān)于x=-2對稱，
（1）若f′（0）=2，求f（x）的解析式；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)的圖象與圖象變化,導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）利用x=0處導(dǎo)數(shù)為零，g（x）圖象關(guān)于x=-2對稱列出方程組，解出m，n即可．
（2）先求導(dǎo)數(shù)，然后解導(dǎo)數(shù)大于零或小于零列出不等式求解得到原函數(shù)的增區(qū)間、減區(qū)間，要注意對n進(jìn)行討論．

解答： 解：（1）由已知得f′（x）=x²+2mx+n．
g（x）=x²+2（m-1）x+n-3，
因?yàn)間（x）的圖象關(guān)于x=-2對稱，所以1-m=-2，所以m=3．
又f′（x）=-2，所以n=-2．
所以f(x)=

1

3

x3+3x2+2x．
（2）設(shè)f′（x）=x²+6x+n＞0，
當(dāng)△=36-4n＞0，即n＜9，
則當(dāng)n＜9時(shí)，f′（x）＞0，解得x＜-3-

9-n

或x＞-3+

9-n

．
故函數(shù)的增區(qū)間為(-∞，-3-

9-n

)，(-3+

9-n

，+∞)．
減區(qū)間為(-3-

9-n

，-3+

9-n

)．
當(dāng)n≥9時(shí)，△≤0，f′（x）≥0在R上恒成立，增區(qū)間為（-∞，+∞）．

點(diǎn)評：本題考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)的單調(diào)性方面的應(yīng)用，要注意對相應(yīng)的參數(shù)進(jìn)行討論，確定不等式的解，從而得到原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．